Конформный радиус - Conformal radius

В математике конформный радиус способ измерить размер односвязный планарный домен D смотреть с точки z в этом. В отличие от понятий, использующих Евклидово расстояние (скажем, радиус наибольшего вписанного диска с центром z), это понятие хорошо подходит для использования в комплексный анализ, в частности в конформные карты и конформная геометрия.

Близким понятием является трансфинитный диаметр или же (логарифмическая) емкость из компактный односвязный набор D, который можно рассматривать как обратный конформному радиусу дополнять E = D^c вид из бесконечность.

Определение

Учитывая односвязную область D ⊂ C, и точка z ∈ D, посредством Теорема римана отображения существует единственное конформное отображение ж : D → D на единичный диск (обычно называемый унифицированная карта) с ж(z) = 0 ∈ D и ж′(z) ∈ р₊. Конформный радиус D из z тогда определяется как

${\displaystyle \mathrm {rad} (z,D):={\frac {1}{f'(z)}}\,.}$

Самый простой пример - конформный радиус диска радиуса р вид из его центра также р, показанный униформизирующим отображением Икс ↦ Икс/р. См. Ниже дополнительные примеры.

Одна из причин полезности этого понятия заключается в том, что оно хорошо себя ведет при конформных отображениях: если φ: D → D′ - конформная биекция и z в D, тогда ${\displaystyle \mathrm {rad} (\varphi (z),D')=|\varphi '(z)|\,\mathrm {rad} (z,D)}$.

Конформный радиус также можно выразить как ${\displaystyle \exp(\xi _{x}(x))}$ куда ${\displaystyle \xi _{x}(y)}$ является гармоническим продолжением ${\displaystyle \log(|x-y|)}$ из ${\displaystyle \partial D}$ к ${\displaystyle D}$.

Частный случай: верхняя полуплоскость.

Позволять K ⊂ ЧАС быть подмножеством верхняя полуплоскость такой, что D := ЧАС\K связано и односвязно, и пусть z ∈ D быть точкой. (Это обычный сценарий, скажем, в Эволюция Шрамма-Лёвнера ). По теореме об отображении Римана существует конформная биекция грамм : D → ЧАС. Тогда для любой такой карты грамм, простое вычисление дает, что

${\displaystyle \mathrm {rad} (z,D)={\frac {2\,\mathrm {Im} (g(z))}{|g'(z)|}}\,.}$

Например, когда K = ∅ и z = я, тогда грамм может быть тождественной картой, и мы получаем rad (я, ЧАС) = 2. Убедившись, что это соответствует исходному определению: униформизирующее отображение ж : ЧАС → D является

${\displaystyle f(z)=i{\frac {z-i}{z+i}},}$

и тогда производная может быть легко вычислена.

Отношение к внутреннему радиусу

То, что это хорошая мера радиуса, показывает следующее непосредственное следствие Лемма Шварца и Теорема Кебе 1/4: за z ∈ D ⊂ C,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {rad} (z,D)}{4}}\leq \mathrm {dist} (z,\partial D)\leq \mathrm {rad} (z,D),}$

где dist (z, ∂D) обозначает евклидово расстояние между z и граница из D, или другими словами, радиус наибольшего вписанного диска с центром z.

Оба неравенства являются наилучшими из возможных:

Очевидно, что верхняя оценка достигается, если взять D = D и z = 0.

Нижняя граница достигается следующей «щелевой областью»: D = C\р₊ и z = −р ∈ р₋. Отображение квадратного корня φ принимает D на верхнюю полуплоскость ЧАС, с ${\displaystyle \varphi (-r)=i{\sqrt {r}}}$ и производная ${\displaystyle |\varphi '(-r)|={\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}}$. Приведенная выше формула для верхней полуплоскости дает ${\displaystyle \mathrm {rad} (i{\sqrt {r}},\mathbb {H} )=2{\sqrt {r}}}$, и тогда формула преобразования при конформных отображениях дает rad (-р, D) = 4р, при этом, конечно, dist (-р, ∂D) = р.

Версия из бесконечности: трансфинитный диаметр и логарифмическая емкость

Когда D ⊂ C односвязный компакт, то его дополнение E = D^c односвязная область в Сфера Римана содержащий ∞^{[нужна цитата ]}, и можно определить

${\displaystyle \mathrm {rad} (\infty ,D):={\frac {1}{\mathrm {rad} (\infty ,E)}}:=\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z}},}$

куда ж : C\D → E - единственное биективное конформное отображение с f (∞) = ∞ и положительным вещественным пределом, т. е. конформное отображение вида

${\displaystyle f(z)=c_{1}z+c_{0}+c_{-1}z^{-1}+\dots ,\qquad c_{1}\in \mathbf {R} _{+}.}$

Коэффициент c₁ = рад (∞, D) равно трансфинитный диаметр и (логарифмическая) емкость из D; см. главу 11 Поммеренке (1975) и Кузьмина (2002). См. Также статью о вместимость комплекта.

Коэффициент c₀ называется конформный центр из D. Можно показать, что он лежит в выпуклый корпус из D; более того,

${\displaystyle D\subseteq \{z:|z-c_{0}|\leq 2c_{1}\}\,,}$

где радиус 2c₁ резка для отрезка прямой длиной 4c₁. См. Страницы 12–13 и главу 11 Поммеренке (1975).

Константы Фекете, Чебышева и модифицированные константы Чебышева

Мы определяем три другие величины, которые равны трансфинитному диаметру, даже если они определены с совершенно другой точки зрения. Позволять

${\displaystyle d(z_{1},\ldots ,z_{k}):=\prod _{1\leq i<j\leq k}|z_{i}-z_{j}|}$

обозначим произведение попарных расстояний точек ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ и определим следующую величину для компакта D ⊂ C:

${\displaystyle d_{n}(D):=\sup _{z_{1},\ldots ,z_{n}\in D}d(z_{1},\ldots ,z_{n})^{\frac {1}{\binom {n}{2}}}}$

Другими словами, ${\displaystyle d_{n}(D)}$ является супремумом среднего геометрического парных расстояний п указывает в D. С D компактно, этот супремум фактически достигается набором точек. Любая такая пнабор точек называется Фекете набор.

Лимит ${\displaystyle d(D):=\lim _{n\to \infty }d_{n}(D)}$ существует и называется Постоянная Фекете.

Теперь позвольте ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$ обозначим множество всех монических многочленов степени п в C[Икс], позволять ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{n}}$ обозначим множество многочленов от ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$ со всеми нулями в D и давайте определим

${\displaystyle \mu _{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {P}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$ и ${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {Q}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$

Тогда пределы

${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(D)^{\frac {1}{n}}}$ и ${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }{\tilde {\mu }}_{n}(D)^{\frac {1}{n}}}$

существуют и их называют Постоянная Чебышева и модифицированная постоянная Чебышева, соответственно.Майкл Фекете и Габор Сегу доказано, что эти константы равны.

Приложения

Конформный радиус - очень полезный инструмент, например, при работе с Эволюция Шрамма-Лёвнера. Красивый экземпляр можно найти в Лоулер, Шрамм и Вернер (2002).

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1973). Конформные инварианты: разделы геометрической теории функций. Серия по высшей математике. Макгроу-Хилл. МИСТЕР  0357743. Zbl  0272.30012.
• Хорват, Янош, изд. (2005). Панорама венгерской математики в двадцатом веке, I. Математические исследования Общества Бойяи. Springer. ISBN  3-540-28945-3.
• Кузьмина, Г. В. (2002), Конформный радиус домена, от Энциклопедия математики онлайн.
• Лоулер, Грегори Ф.; Шрамм, Одед; Вернер, Венделин (2002), «Экспонента одной руки для критической двумерной перколяции», Электронный журнал вероятностей, 7 (2): 13 с., arXiv:математика / 0108211, Дои:10.1214 / ejp.v7-101, ISSN  1083-6489, МИСТЕР  1887622, Zbl  1015.60091
• Поммеренке, Кристиан (1975). Унивалентные функции. Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher. Группа XXV. С главой Герда Йенсена о квадратичных дифференциалах. Геттинген: Vandenhoeck & Ruprecht. Zbl  0298.30014.

дальнейшее чтение

• Румели, Роберт С. (1989), Теория емкости на алгебраических кривых, Конспект лекций по математике, 1378, Берлин и др .: Springer-Verlag, ISBN  3-540-51410-4, Zbl  0679.14012

внешняя ссылка

• Пух, Чарльз, Конформный радиус. Из MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram, созданный Эриком В. Вайстейном.