Комплексное обратное распределение Уишарта - Complex inverse Wishart distribution

Комплексное обратное распределение Уишарта

Обозначение	${\displaystyle {\mathcal {CW}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu ,p)}$
Параметры	${\displaystyle \nu >p-1}$ степени свободы (настоящий ) ${\displaystyle \mathbf {\Psi } >0}$, ${\displaystyle p\times p}$ масштабная матрица (поз. деф. )
Поддерживать	${\displaystyle \mathbf {X} }$ является п × п положительно определенный Эрмитский
PDF	${\displaystyle {\frac {\left|\mathbf {\Psi } \right|^{\nu }}{{\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )}}\left|\mathbf {x} \right|^{-(\nu +p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {x} ^{-1})}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Gamma _{p}}$ это комплекс многомерная гамма-функция ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}p(p-1)}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (\nu -j+1)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ это след функция
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p}}}$ за ${\displaystyle \nu >p+1}$
Дисперсия	Смотри ниже

В комплексное обратное распределение Уишарта это матрица распределение вероятностей определены на комплексных положительно определенный матрицы и является сложным аналогом реальное обратное распределение Уишарта. Сложное распределение Уишарта было всесторонне исследовано Гудманом.^[1] в то время как получение обратного показано Шаманом^[2] и другие. Наибольшее применение он имеет в теории оптимизации наименьших квадратов, применяемой к комплексным выборкам данных в цифровых системах радиосвязи, часто связанных с комплексной фильтрацией в области Фурье.

Сдача ${\displaystyle \mathbf {S} _{p\times p}=\sum _{j=1}^{\nu }G_{j}G_{j}^{H}}$ - выборочная ковариация независимого комплекса п-векторы ${\displaystyle G_{j}}$ чья эрмитова ковариация сложное распределение Уишарта ${\displaystyle \mathbf {S} \sim {\mathcal {CW}}(\mathbf {\Sigma } ,\nu ,p)}$ со средним значением ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } {\text{ and }}\nu }$ степеней свободы, то pdf ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {S^{-1}} }$ следует комплексному обратному распределению Уишарта.

Плотность

Если ${\displaystyle \mathbf {S} _{p\times p}}$ - образец из комплексного распределения Уишарта ${\displaystyle {\mathcal {CW}}({\mathbf {\Sigma } },\nu ,p)}$ так что в простейшем случае ${\displaystyle \nu \geq p{\text{ and }}\left|\mathbf {S} \right|>0}$ тогда ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {S} ^{-1}}$ выбирается из обратного комплексного распределения Уишарта ${\displaystyle {\mathcal {CW}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu ,p){\text{ where }}\mathbf {\Psi } =\mathbf {\Sigma } ^{-1}}$.

Функция плотности ${\displaystyle \mathbf {X} }$ является

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(\mathbf {x} )={\frac {\left|\mathbf {\Psi } \right|^{\nu }}{{\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )}}\left|\mathbf {x} \right|^{-(\nu +p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {x} ^{-1})}}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )}$ - комплексная многомерная гамма-функция

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}p(p-1)}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (\nu -j+1)}$

Моменты

Дисперсии и ковариации элементов обратного комплексного распределения Вишарта показаны в статье Шамана выше, в то время как Майвальд и Краус^[3] определить моменты с 1-го по 4-й.

Шаман находит первый момент

${\displaystyle \mathbf {E} [{\mathcal {C}}\mathbf {W^{-1}} ]={\frac {1}{n-p}}\mathbf {\Psi ^{-1}} ,\;n>p}$

и в простейшем случае ${\displaystyle \mathbf {\Psi } =\mathbf {I} _{p\times p}}$, данный ${\displaystyle d={\frac {1}{n-p}}}$, тогда

${\displaystyle \mathbf {\mathbf {E} \left[vec({\mathcal {C}}W_{3}^{-1})\right]} ={\begin{bmatrix}d&0&0&0&d&0&0&0&d\\\end{bmatrix}}}$

Векторизованная ковариация равна

${\displaystyle \mathbf {Cov\left[vec({\mathcal {C}}W_{p}^{-1})\right]} =b\left(\mathbf {I} _{p}\otimes I_{p}\right)+c\,\mathbf {vecI_{p}} \left(\mathbf {vecI_{p}} \right)^{T}+(a-b-c)\mathbf {J} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {J} }$ это ${\displaystyle p^{2}\times p^{2}}$ единичная матрица с единицами в диагональных позициях ${\displaystyle 1+(p+1)j,\;j=0,1,\dots p-1}$ и ${\displaystyle a,b,c}$ реальные константы такие, что при ${\displaystyle n>p+1}$

${\displaystyle a={\frac {1}{(n-p)^{2}(n-p-1)}}}$, предельные диагональные дисперсии

${\displaystyle b={\frac {1}{(n-p+1)(n-p)(n-p-1)}}}$, недиагональные дисперсии.

${\displaystyle c={\frac {1}{(n-p+1)(n-p)^{2}(n-p-1)}}}$, внутридиагональные ковариации

За ${\displaystyle \mathbf {\Psi } =\mathbf {I} _{3}}$, получаем разреженную матрицу:

${\displaystyle \mathbf {Cov\left[vec({\mathcal {C}}W_{3}^{-1})\right]} ={\begin{bmatrix}a&\cdot &\cdot &\cdot &c&\cdot &\cdot &\cdot &c\\\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &a&\cdot &\cdot &\cdot &c\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &c&\cdot &\cdot &\cdot &a\\\end{bmatrix}}}$

Распределения собственных значений

Совместное распределение действительных собственных значений обратного комплексного (и действительного) Уишарта найдено в статье Эдельмана^[4] который ссылается на более раннюю статью Джеймса.^[5] В неособом случае собственные значения обратной матрицы Уишарта представляют собой просто инвертированные значения матрицы Уишарта. Эдельман также характеризует маргинальные распределения наименьшего и наибольшего собственных значений комплексных и вещественных матриц Уишарта.

Рекомендации

1. Гудман, Н. Р. (1963). «Статистический анализ, основанный на некотором многомерном комплексном распределении Гаусса: введение». Анна. Математика. Статист. 34 (1): 152–177.
2. Шаман, Пол (1980). «Обращенное комплексное распределение Уишарта и его применение к спектральной оценке». Журнал многомерного анализа. 10: 51–59.
3. Майвальд, Дирк; Краус, Дитер (1997). "О моментах сложных и комплексных обратных распределенных матриц Уишарта". IEEE ICCASP 1997. 5: 8317–8320.
4. Эдельман, Алан (октябрь 1998 г.). «Собственные значения и числа обусловленности случайных матриц». SIAM J. Matrix Anal. Приложение. 9 (4): 543–560.
5. Джеймс, А. Т. (1964). «Распределение матричных переменных и скрытых корней, полученных из нормальных образцов». Анна. Математика. Статист. 35: 475–501.