Чу пространство - Chu space

Пространства Чу обобщить понятие топологическое пространство отбросив требования, что набор открытые наборы быть закрытым под союз и конечный пересечение, чтобы открытые множества были экстенсиональными, а предикат принадлежности (точек в открытых множествах) был двузначным. Определение непрерывная функция остается неизменным, за исключением того, что его нужно тщательно формулировать, чтобы сохранить смысл после этих обобщений.

Название происходит от По-Сян Чу, который первоначально построил проверку автономных категорий как аспирант под руководством Майкл Барр в 1979 г.[1]

Определение

Статически понимаемое пространство Чу (А, р, Икс) над множеством K состоит из набора А точек, набор Икс состояний, а функция р : А × Икс → K. Это делает его А × Икс матрица с записями, взятыми из K, или эквивалентно K-ценный бинарное отношение между А и Икс (обычные бинарные отношения двузначны).

При динамическом понимании пространства Чу трансформируются как топологические пространства с А как набор точек, Икс как множество открытых множеств, и р как отношение принадлежности между ними, где K - множество всех возможных степеней принадлежности точки к открытому множеству. Аналог непрерывной функции из (А, р, Икс) к (B, s, Y) - пара (ж, грамм) функций ж : А → B, грамм : Y → Икс удовлетворение условие сопряженности s(ж(а), у) = р(а, грамм(у)) для всех а ∈ А и у ∈ Y. То есть, ж отображает точки вперед одновременно с грамм отображает состояния в обратном порядке. Условие сопряженности делает грамм функция обратного изображения ж−1, а выбор Икс для codomain из грамм соответствует требованию для непрерывных функций, что прообраз открытых множеств открыт. Такая пара называется преобразованием Чу или морфизмом пространств Чу.

Топологическое пространство (Икс, Т) куда Икс - множество точек и Т множество открытых множеств, можно понимать как пространство Чу (Икс,∈,Т) более {0, 1}. То есть точки топологического пространства становятся точками пространства Чу, в то время как открытые множества становятся состояниями, а отношение принадлежности «∈» между точками и открытыми множествами становится явным в пространстве Чу. Условие замкнутости множества открытых множеств при произвольном (в том числе пустом) объединении и конечном (в том числе пустом) пересечении становится соответствующим условием на столбцы матрицы. Непрерывная функция ж: Икс → ИКС' между двумя топологическими пространствами становится присоединенной парой (ж,грамм) в котором ж теперь соединяется с реализацией условия непрерывности, построенной как явная функция-свидетель грамм выставляя необходимые открытые наборы в области ж.

Категориальная структура

Категория пространств Чу над K и их карты обозначаются Чу(Набор, K). Как видно из симметрии определений, это самодвойственная категория: она эквивалентна (фактически изоморфна) своей двойственной категории, полученной обращением всех отображений. Кроме того, это * -автономная категория с дуализирующим объектом (K, λ, {*}) где λ: K × {*} → K определяется как λ (k, *) = k (Барр, 1979). Таким образом, это модель Жан-Ив Жирар с линейная логика (Жирар, 1987).

Варианты

Более общий обогащенная категория Чу(V, k) первоначально появился в приложении к Барру (1979). Концепция пространства Чу возникла с Майкл Барр Детали были разработаны его учеником По-Сян Чу, чья магистерская диссертация стала приложением. Обычные пространства Чу возникают при V = Набор, то есть когда моноидальная категория V специализируется на декартова закрытая категория Набор наборов и их функций, но не изучались сами по себе до более чем десятилетия после появления более общего обогащенного понятия. Вариант пространств Чу, называемый диалектические пространства, из-за де Пайва (1989) заменяет условие карты (1) условием карты (2):

  1. s(ж(а), у) = р(а, грамм(у)).
  2. s(ж(а), у) ≤ р(а, грамм(у)).

Универсальность

Категория Вершина топологических пространств и их непрерывных функций вкладываются в Чу(Набор, 2) в том смысле, что существует полный и точный функтор F : Вершина → Чу(Набор, 2) обеспечение для каждого топологического пространства (Икс, Т) это представление F((Икс, Т)) = (Икс, ∈, Т) как указано выше. Более того, это представление реализация в смысле Пультра и Трнкова (1980), а именно, что представляющее пространство Чу имеет тот же набор точек, что и представленное топологическое пространство, и трансформируется таким же образом с помощью тех же функций.

Пространства Чу отличаются большим разнообразием реализованных в них знакомых структур. Лафон и Штрейхер (1991) указывают, что пространства Чу над 2 реализуют как топологические пространства, так и когерентные пространства (введено Ж.-Й. Жираром (1987) для моделирования линейной логики), а пространства Чу над K реализовать любую категорию векторных пространств над полем, мощность которого не превосходит K. Это было продлено Воан Пратт (1995) к реализации k-арно-реляционные структуры пространств Чу над 2k. Например, категория Grp групп и их гомоморфизмов реализуется Чу(Набор, 8), поскольку групповое умножение можно организовать как тернарное отношение. Чу(Набор, 2) реализует широкий спектр `` логических '' структур, таких как полурешетки, дистрибутивные решетки, полные и полностью дистрибутивные решетки, булевы алгебры, полные атомные булевы алгебры и т. Д. Дополнительная информация об этом и других аспектах пространств Чу, включая их приложение к моделированию параллельного поведения, можно найти на Chu Spaces.

Приложения

Автоматы

Пространства Чу могут служить моделью параллельных вычислений в теория автоматов чтобы выразить время ветвления и истину параллелизм. Пространства Чу демонстрируют квантово-механические явления дополнительности и неопределенности. Взаимодополняемость возникает как двойственность информации и времени, автоматов и расписаний, состояний и событий. Неопределенность возникает, когда измерение определяется как морфизм такие, что увеличение структуры наблюдаемого объекта снижает четкость наблюдения. Эту неопределенность можно рассчитать численно по ее форм-фактору, чтобы получить обычный Неуверенность Гейзенберга связь. Пространства Чу соответствуют волновые функции как векторы Гильбертово пространство.[2]

Рекомендации

  1. ^ Строительство Чу: история идеи Университет Майкла Барра Макгилла
  2. ^ Пратт, В. (1994). «Пространства Чу: Автоматы с квантовыми аспектами». Труды Практикума по физике и вычислениям. Phys Comp '94. С. 186–195. Дои:10.1109 / PHYCMP.1994.363682. ISBN  978-0-8186-6715-2.

дальнейшее чтение

  • Барр, М. (1979). * -Автономные категории. Конспект лекций по математике. 752. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09563-7.
  • Барр, М. (1996). «Чуйское сооружение». Теория и приложения категорий. 2 (2): 17–35.
  • Жирар, Ж.-Й. (1987). «Линейная логика». Теоретическая информатика. 50: 1–102. Дои:10.1016/0304-3975(87)90045-4. HDL:10338.dmlcz / 120513.
  • Лафон, Ю. и Штрейхер, Т. (1991). «Семантика игр для линейной логики». Proc. 6-й ежегодный симпозиум IEEE. О логике в компьютерных науках, Амстердам, июль 1991 г.. Лос-Аламитос: Пресса IEEE Computer Society: 43–49.
  • де Пайва, В. (1989). «Диалектическая модель линейной логики». Proc. Конф. по теории категорий и информатике, конспект лекций Springer-Verlag по информатике, Манчестер, сентябрь 1989 г.. 389. С. 341–356.
  • Пратт, В. Р. "Каменная гамма: координация математики". Proc. 10-й ежегодный симпозиум IEEE. по логике в компьютерных науках, Монреаль, июнь 1995 г.. С. 444–454.
  • Пултр, А. и Трнкова, В. (1980). Комбинаторные, алгебраические и топологические представления групп, полугрупп и категорий. Северная Голландия.

внешняя ссылка