Уравнение кристаллов - Chrystals equation

В математика, Уравнение кристалла является нелинейным первого порядка обыкновенное дифференциальное уравнение, названный в честь математика Джордж Кристал, которые обсуждали единственное решение этого уравнения в 1896 г.^[1] Уравнение читается как^[2][3]

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+Ax{\frac {dy}{dx}}+By+Cx^{2}=0}$

куда ${\displaystyle A,\ B,\ C}$ - константы, которые при решении ${\displaystyle dy/dx}$, дает

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {A}{2}}x\pm {\frac {1}{2}}(A^{2}x^{2}-4By-4Cx^{2})^{1/2}.}$

Это уравнение является обобщением Уравнение Клеро поскольку оно сводится к уравнению Клеро при определенных условиях, указанных ниже.

Решение

Представляем трансформацию ${\displaystyle 4By=(A^{2}-4C-z^{2})x^{2}}$ дает

${\displaystyle xz{\frac {dz}{dx}}=A^{2}+AB-4C\pm Bz-z^{2}.}$

Теперь уравнение разделимо, поэтому

${\displaystyle {\frac {z\,dz}{A^{2}+AB-4C\pm Bz-z^{2}}}={\frac {dx}{x}}.}$

Знаменатель в левой части можно разложить на множители, если решить корни уравнения ${\displaystyle A^{2}+AB-4C\pm Bz-z^{2}=0}$ и корни ${\displaystyle a,\ b=\pm \left[B+{\sqrt {(2A+B)^{2}-16C}}\right]/2}$, следовательно

${\displaystyle {\frac {z\,dz}{(z-a)(z-b)}}={\frac {dx}{x}}.}$

Если ${\displaystyle a\neq b}$, решение

${\displaystyle x{\frac {(z-a)^{a/(a-b)}}{(z-b)^{b/(a-b)}}}=k}$

куда ${\displaystyle k}$ - произвольная постоянная. Если ${\displaystyle a=b}$, (${\displaystyle (2A+B)^{2}-16C=0}$) то решение

${\displaystyle x(z-a)\exp \left[{\frac {a}{a-z}}\right]=k.}$

Когда один из корней равен нулю, уравнение сводится к Уравнение Клеро и в этом случае получается параболическое решение: ${\displaystyle A^{2}+AB-4C=0}$ и решение

${\displaystyle x(z\pm B)=k,\quad \Rightarrow \quad 4By=-ABx^{2}-(k\pm Bx)^{2}.}$

Вышеупомянутое семейство парабол охвачено параболой ${\displaystyle 4By=-ABx^{2}}$, поэтому эта огибающая парабола является единственное решение.

Рекомендации

1. Кристал Дж., "О p-дискриминанте дифференциального уравнения первого порядка и о некоторых моментах в общей теории связанных с ним огибающих", Пер. Рой. Soc. Един, т. 38, 1896, стр. 803–824.
2. Дэвис, Гарольд Тайер. Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения. Курьерская корпорация, 1962 год.
3. Инс, Э. Л. (1939). Обыкновенные дифференциальные уравнения, Лондон (1927). Google ученый.