Модель Хирала Поттса - Chiral Potts model

В хиральная модель Поттса - спиновая модель на плоской решетке в статистическая механика. Как и в случае с Модель Поттса, каждый спин может принимать n = 0, ... N-1 значений. Каждой паре ближайших соседей спинов n и n 'вес Больцмана W (n-n') (Фактор Больцмана ) назначается. Модель хиральный, что означает W (n-n ') ≠ W (n'-n). Когда его вес удовлетворяет Уравнение Янга – Бакстера, (соотношение звезда – треугольник), она интегрируема. Для интегрируемой киральной модели Поттса ее веса параметризованы высоким родовая кривая, то хиральная кривая Поттса.^[1][2]В отличие от других решаемых моделей,^[3][4] веса которых параметризованы кривыми рода, меньшим или равным единице, так что они могут быть выражены через тригонометрическую, рациональную функцию (род = 0) или тета-функции (род = 1), эта модель включает тета-функции высокого рода, которые еще недостаточно развиты. Поэтому считалось, что нельзя добиться прогресса в решении такой сложной проблемы. Тем не менее, с 1990-х годов было сделано много прорывов. Следует еще раз подчеркнуть, что киральная модель Поттса была изобретена не потому, что она была интегрируемой, но интегрируемый случай был найден после того, как он был введен для объяснения экспериментальных данных. В очень глубоком смысле физика здесь намного опережает математику. Здесь кратко будет представлена ​​история и ее развитие.

Обратите внимание, что хиральные часы модель, которая была введена в 1980-х независимо Дэвидом Хьюзом и Стелланом Остлундом, не является точно решаемой, в отличие от киральной модели Поттса.

Модель

Эта модель не относится к классу всех ранее известных моделей и поднимает множество нерешенных вопросов, связанных с некоторыми из самых трудноразрешимых проблем алгебраическая геометрия которые с нами уже 150 лет. Киральные модели Поттса используются для понимания соизмеримых-несоразмерных фазовых переходов.^[5] Для N = 3 и 4 интегрируемый случай был открыт в 1986 г. в Стоунибруке и опубликован в следующем году.^[1][6]

Самодвойной корпус

Модель называется самодвойственный, если преобразование Фурье веса равно весу. Частный случай (род 1) был раскрыт в 1982 г. Фатеевым и Замолодчиковым.^[7]Устраняя определенные ограничения работы Алькараса и Сантоса,^[8] был обнаружен более общий самодуальный случай интегрируемой киральной модели Поттса.^[1] Вес указан в форме продукта.^[9][10] а параметры веса показаны на Кривая Ферма, с родом больше 1.

Общий случай

В Канберре универсальное решение для всех k (температурная переменная).^[2] Веса также были даны в форме продукта, и Fortran проверил, что они удовлетворяют соотношению звезда – треугольник. Доказательство было опубликовано позже.^[11]

Полученные результаты

Параметр заказа

Из серии^[5][12] параметр порядка предполагается^[13] иметь простую форму

${\displaystyle \langle \sigma ^{n}\rangle =(1-k'^{2})^{\beta },\quad \beta =n(N-n)/2N^{2}.}$

На доказательство этой гипотезы ушло много лет, так как обычный метод матрицы переноса угла не мог быть использован из-за кривой более высокого рода. Это предположение было окончательно доказано Бакстером в 2005 году.^[14][15] используя функциональные уравнения и технику «ломаной линии скорости» Джимбо и другие.^[16] предполагая два довольно мягких условия аналитичности, которые обычно используются в области интегрируемых моделей Янга – Бакстера. Совсем недавно в серии статей^{[17][18][19][20][21][22][23]}алгебраический (Изинг-подобный ) был предложен способ получения параметра порядка, дающий более полное представление об алгебраической структуре.

Подключение к 6-вершинная модель

В 1990 году Бажанов и Строганов^[24] показать, что существует 2 × N L-операторы, удовлетворяющие Уравнение Янга – Бакстера

${\displaystyle L_{i_{1}\alpha }^{j_{1}\beta }(x)L_{i_{2}\beta }^{j_{2}\gamma }(y)R_{j_{1}j_{2}}^{k_{1}k_{2}}(y/x)=R_{i_{1}i_{2}}^{j_{1}j_{2}}(y/x)L_{j_{2}\alpha }^{k_{2}\beta }(y)L_{j_{1}\beta }^{k_{1}\gamma }(x),\quad 0<i,j,k\leq 1,\quad 0\leq \alpha ,\beta ,\gamma \leq N-1.}$

где 2 × 2 р-оператор - 6-вершина р-матрица (см. Вершинная модель ). Произведение четырех хиральных весов Поттса S было показано, что переплетаются два L-операторы как

${\displaystyle L_{i_{1}\alpha _{1}}^{i_{2}\alpha _{2}}{\hat {L}}_{i_{2}\beta _{1}}^{i_{3}\beta _{2}}S_{\alpha _{2}\beta _{2}}^{\alpha _{3}\beta _{3}}=S_{\alpha _{1}\beta _{1}}^{\alpha _{2}\beta _{2}}{\hat {L}}_{i_{1}\beta _{2}}^{i_{2}\beta _{3}}L_{i_{2}\alpha _{2}}^{i_{3}\alpha _{3}},\quad 0<i_{i}\leq 1,\quad 0\leq \alpha _{i},\beta _{i}\leq N-1.}$

Это привело к самому важному прорыву, а именно к функциональным отношениям для матрицы передачи киральных моделей Поттса.^[25]

Свободная энергия и межфазное натяжение

Используя это функциональное соотношение, Бакстер смог вычислить собственные значения передаточной матрицы киральной модели Поттса,^[26] и получили критический показатель для теплоемкости α = 1-2 / N, что также было предположено в работе 12. межфазное напряжение также рассчитываются им с показателем μ = 1/2 + 1 / N.^[27][28]

Связь с математикой

Теория узлов

Интегрируемые киральные веса Поттса приведены в форме продукта. ^[2] в качестве

${\displaystyle W_{pq}(n)\!=\!{\Big (}{\mu _{p} \over \mu _{q}}{\Big )}^{\!\!n}\prod _{j=1}^{n}{y_{q}-x_{p}\omega ^{j} \over y_{p}-x_{q}\omega ^{j}},\quad {\overline {W}}_{pq}(n)\!=\!{\big (}{\mu _{p}\mu _{q}}{\big )}^{\!n}\!\prod _{j=1}^{n}{\omega x_{p}\!-\!x_{q}\omega ^{j} \over y_{q}\!-\!y_{p}\omega ^{j}},}$

где ω^N= 1 и сопоставим каждой переменной скорости p три переменные (x_п, y_п, μ_п) удовлетворение

${\displaystyle x_{p}^{N}+y_{p}^{N}=k(1+x_{p}^{N}y_{p}^{N}),\quad k'^{2}+k^{2}=1,\quad k'\mu _{p}^{N}=1-ky_{p}^{N},\quad k'\mu _{p}^{-N}=1-kx_{p}^{N}.}$

Легко заметить, что

${\displaystyle W_{pp}(a-b)=1,\quad {\overline {W}}_{pp}(a-b)=\delta _{a,b}}$

которое аналогично движению Райдемейстера I. Также было известно, что веса, удовлетворяющие соотношению обращения,

${\displaystyle W_{pq}(a-b)W_{qp}(a-b)=1,\quad \sum _{d=0}^{N-1}{\overline {W}}_{pq}(a-d){\overline {W}}_{qp}(d-a')=r_{pq}\delta _{a,a'}.}$

Это эквивалентно второму ходу Рейдемейстера. Соотношение звезда-треугольник

${\displaystyle \sum _{d=1}^{N}\,{\overline {W}}_{pr}(a-d)\,W_{pq}(d-c)\,{\overline {W}}_{rq}(d-b)=R_{pqr}\,{\overline {W}}_{pq}(a-b)\,{W}_{pr}(b-c)\,W_{rq}(a-c)}$

эквивалентен ходу Рейдемейстера III. Они показаны на рисунке, показанном здесь.^[29]

Веса интегрируемых киральных моделей Поттса

Свойство Весов: Движение Рейдемейстера I

Обратное соотношение весов: движение Рейдемейстера II

Соотношение звезда-треугольник: Движение Рейдемейстера III

Смотрите также

• Z N модель

Рекомендации

1. Ау-Ян Х., Маккой Б. М., Перк Дж. Х. Х., Тан С. и Ян М. -Л. (1987), "Коммутирующие трансфер-матрицы в киральных моделях Поттса: решения уравнений звезда-треугольник с родом> 1", Письма о физике A 123 219–23.
2. Бакстер Р. Дж., Перк Дж. 'Х' Х 'и Ау-Ян Х (1988), «Новые решения соотношений звезда-треугольник для киральной модели Поттса», Письма о физике A 128 138–42.
3. Р. Дж. Бакстер, "Точно решаемые модели в статистической механике", Academic Press, ISBN  978-0-12-083180-7.
4. Б. М. Маккой, "Продвинутая статистическая механика", 146 Международная серия монографий по физике, Оксфорд, Англия, ISBN  9780199556632
5. С. Хоус, Л. П. Каданов и М. ден Нейс (1983), Ядерная физика B 215, 169.
6. Маккой Б. М., Перк Дж. Х. Х., Танг С. и Сах К. Х. (1987), "Коммутирующие трансфер-матрицы для четырехуровневой самодуальной киральной модели Поттса с униформизирующей кривой Ферма рода 3", Письма о физике A 125, 9–14.
7. В. А. Фатеев, А. Б. Замолодчиков, (1982) Письма о физике A 92.
8. Э. К. Алькарас и А. Лима Сантос, Ядерная физика B 275.
9. Х. Ау-Янг, Б. М. Маккой, Дж. Х. Х. Перк и С. Танг (1988), "Решаемые модели в статистической механике и римановы поверхности рода больше единицы", в Алгебраический анализ, Vol. 1, М. Кашивара и Т. Каваи, ред., Academic Press, стр. 29–40.
10. J.H.H. Перк (1987), "Уравнения звезда-треугольник, квантовые пары Лакса и кривые высшего рода", в Proc. 1987 Летний научно-исследовательский институт тета-функций, Proc. Symp. Чистая математика. 49, часть 1 (Am. Math. Soc., Providence, R.I., 1989), стр. 341–354.
11. Ау-Ян Х и Перк Дж Х Х (1989). «Уравнение звезда-треугольник Онзагера: главный ключ к интегрируемости», Proc. Симпозиум Танигучи, Киото, октябрь 1988 г., Advanced Studies in Pure Mathematics vol 19 (Tokyo: Kinokuniya – Academic), стр. 57–94.
12. М. Хенкель и Дж. Лак, препринт Bonn-He- 85–22
13. Альбертини Г., Маккой Б. М., Перк Дж. Х. Х. и Танг С. (1989), "Спектр возбуждения и параметр порядка для интегрируемых N-государственная киральная модель Поттса », Ядерная физика B 314, 741–763
14. Бакстер Р. Дж. (2005), "Вывод параметра порядка киральной модели Поттса", Письма с физическими проверками, 94 130602 (3 стр.) arXiv: cond-mat / 0501227.
15. Бакстер Р. Дж. (2005), "Параметр порядка киральной модели Поттса", Журнал статистической физики 120, 1–36: arXiv: cond-mat / 0501226.
16. Джимбо М., Мива Т. и Накаяшики А. (1993), "Разностные уравнения для корреляционных функций восьмивершинной модели", Журнал физики А: Математика. Gen. 26, 2199–210: arXiv: hep-th / 9211066.
17. Бакстер Р. Дж. (2008) "Алгебраическая редукция модели Изинга", Журнал статистической физики 132, 959–82, arXiv: 0803.4036;
18. Бакстер Р. Дж. (2008), "Гипотеза суперинтегрируемой киральной модели Поттса",Журнал статистической физики 132, 983–1000, arXiv: 0803.4037;
19. Бакстер Р. Дж. (2009), "Некоторые замечания по обобщению суперинтегрируемой киральной модели Поттса", Журнал статистической физики 137, 798–813, arXiv: 0906.3551;
20. Бакстер Р. Дж. (2010), "Спонтанная намагниченность суперинтегрируемой киральной модели Поттса: расчет детерминанта D_PQ", Журнал физики А 43, 145002 (16pp) arXiv: 0912.4549.
21. Бакстер Р. Дж. (2010), "Доказательство детерминантной формы спонтанной намагниченности суперинтегрируемой киральной модели Поттса", Австралийский и новозеландский журнал промышленной и прикладной математики, 51arXiv: 1001.0281.
22. Йоргов Н., Пакуляк С., Шадура В., Тихий Ю., фон Гелен Г. (2009), "Матричные элементы спинового оператора в суперинтегрируемой киральной квантовой цепочке Поттса", Журнал статистической физики 139, 743–68 arXiv: 0912.5027.
23. Ау-Ян Х и Перк Дж. Х. Х. (2011), "Спонтанное намагничивание интегрируемой киральной модели Поттса", Журнал физики А 44, 445005 (20pp), arXiv: 1003.4805.
24. В.В. Бажанов, Ю. Г. Строганов (1990), «Киральная модель Поттса как потомок шестивершинной модели», Журнал статистической физики 59, pp 799–817.
25. Бакстер Р. Дж., Бажанов В. В. и Перк Дж. Х. Х. (1990), "Функциональные соотношения для трансфер-матриц киральной модели Поттса", Международный журнал современной физики B 4, 803–70.
26. Бакстер Р. Дж. (1991), "Вычисление собственных значений матрицы переноса киральной модели Поттса", Материалы Четвертой Азиатско-Тихоокеанской конференции по физике (Сингапур: World Scientific) стр. 42–58.
27. Бакстер Р. Дж. (1993), "Киральная модель Поттса со скошенными граничными условиями", Журнал статистической физики 73, 461–95.
28. Бакстер Р. Дж. (1994), "Межфазное натяжение хиральной модели Поттса", Журнал физики А 27, pp 1837–49.
29. Ау-Ян Хелен, Перк Х. Х. Жак (2016), arXiv: 1601.01014