Основа Шевалле - Chevalley basis

В математике Основа Шевалле для просто сложный Алгебра Ли это основа построенный Клод Шевалле с тем свойством, что все структурные константы целые числа. Шевалле использовал эти основы для создания аналогов Группы Ли над конечные поля, называется Группы Шевалле. В основе Шевалле лежит Картан-Вейль основы, но с другой нормализацией.

Генераторы группы Ли разбиваются на генераторы ЧАС и E проиндексировано простым корни и их негативы ${displaystyle pm alpha _{i}}$. Базис Картана-Вейля можно записать как

${displaystyle [H_{i},H_{j}]=0}$

${displaystyle [H_{i},E_{alpha }]=alpha _{i}E_{alpha }}$

Определение двойной корень или же корут из ${displaystyle alpha }$ в качестве

${displaystyle alpha ^{vee }={frac {2alpha }{(alpha ,alpha )}}}$

Можно выполнить изменение основы, чтобы определить

${displaystyle H_{alpha _{i}}=(alpha _{i}^{vee },H)}$

В Целые числа Картана находятся

${displaystyle A_{ij}=(alpha _{i},alpha _{j}^{vee })}$

Получающиеся отношения между генераторами следующие:

${displaystyle [H_{alpha _{i}},H_{alpha _{j}}]=0}$

${displaystyle [H_{alpha _{i}},E_{alpha _{j}}]=A_{ji}E_{alpha _{j}}}$

${displaystyle [E_{-alpha _{i}},E_{alpha _{i}}]=H_{alpha _{i}}}$

${displaystyle [E_{eta },E_{gamma }]=pm (p+1)E_{eta +gamma }}$

где в последнем соотношении ${displaystyle p}$ - наибольшее натуральное число такое, что ${displaystyle gamma -peta }$ является корнем, и мы считаем ${displaystyle E_{eta +gamma }=0}$ если ${displaystyle eta +gamma }$ это не рут.

Для определения знака в последнем соотношении фиксируется порядок корней, учитывающий сложение, т. Е. Если ${displaystyle eta prec gamma }$ тогда ${displaystyle eta +alpha prec gamma +alpha }$ при условии, что все четыре являются корнями. Затем мы звоним ${displaystyle (eta ,gamma )}$ ан особенная пара корней, если они оба положительны и ${displaystyle eta }$ минимален среди всех ${displaystyle eta _{0}}$ которые встречаются в парах положительных корней ${displaystyle (eta _{0},gamma _{0})}$ удовлетворение ${displaystyle eta _{0}+gamma _{0}=eta +gamma }$. Знак в последнем соотношении может быть выбран произвольно всякий раз, когда ${displaystyle (eta ,gamma )}$ это особенная пара корней. Затем это определяет знаки для всех оставшихся пар корней.

Рекомендации

• Картер, Роджер В. (1993). Конечные группы типа лжи: классы сопряженности и сложные характеры. Библиотека Wiley Classics. Чичестер: Вайли. ISBN  978-0-471-94109-5.
• Шевалле, Клод (1955). "Сур определенные группы простые". Математический журнал Тохоку (На французском). 7 (1–2): 14–66. Дои:10.2748 / tmj / 1178245104. МИСТЕР  0073602. Zbl  0066.01503.
• Жак, Титс (1966). "Sur les constantes de structure et le teorème d'existence des algèbres de Lie semi-simples". Публикации Mathématiques de l'IHÉS (На французском). 31: 21–58. МИСТЕР  0214638. Zbl  0145.25804.