Структурная теорема Шевалле - Chevalleys structure theorem

В алгебраическая геометрия, Структурная теорема Шевалле утверждает, что гладкая связная алгебраическая группа через идеальное поле имеет единственную нормальную гладкую связную аффинную алгебраическую подгруппу такую, что фактор является абелева разновидность. Это было доказано Chevalley (1960 ) (хотя ранее он объявил результат в 1953 году), Барсотти (1955), и Розенлихт (1956).

Первоначальное доказательство Шевалле и другие ранние доказательства Барсотти и Розенлихта использовали идею отображения алгебраической группы на ее Сорт Альбанезе. Первоначальные доказательства были основаны на книге Вейля. Основы алгебраической геометрии и трудно следовать тем, кто не знаком с основами Вейля, но Конрад (2002) позже дал изложение доказательства Шевалле в теоретико-схемной терминологии.

Над несовершенными полями все еще существует наименьшая нормальная связная линейная подгруппа такая, что фактор-многообразие является абелевым многообразием, но линейная подгруппа не обязательно должна быть гладкой.

Следствием теоремы Шевалле является то, что любая алгебраическая группа над полем квазипроективна.

Примеры

Существует несколько естественных конструкций, дающих связные алгебраические группы, которые не являются ни аффинными, ни полными.

Если C кривая с эффективным дивизором м, то с ним связан обобщенный якобиан J_м. Это коммутативная алгебраическая группа, отображаемая на якобиево многообразие J₀ из C с аффинным ядром. Так J является расширением абелевого многообразия аффинной алгебраической группой. Как правило, это расширение не разделяется.
Приведенная связная компонента относительной схемы Пикара собственной схемы над совершенным полем является алгебраической группой, которая, вообще говоря, не является ни аффинной, ни собственной.
Компонента связности замкнутого слоя Модель Нерона над кольцом дискретного нормирования является алгебраической группой, которая, вообще говоря, не является ни аффинной, ни собственной.
Для аналитических групп некоторые очевидные аналоги теоремы Шевалле не работают. Например, продукт аддитивной группы C и любая эллиптическая кривая имеет плотный набор замкнутых (аналитических, но не алгебраических) подгрупп, изоморфных C поэтому не существует единственной «максимальной аффинной подгруппы», в то время как произведение двух копий мультипликативной группы C * изоморфно (аналитически, но не алгебраически) нерасщепляемому расширению любой данной эллиптической кривой с помощью C.

Приложения

Структурная теорема Шевалле используется при доказательстве Критерий Нерона – Огга – Шафаревича..

Структурная теорема Шевалле - Chevalleys structure theorem

Примеры

Приложения

Рекомендации