Неравенство сумм Чебышёва - Chebyshevs sum inequality

Для одноименного неравенства в теория вероятности, видеть Неравенство Чебышева.

В математика, Неравенство сумм Чебышева, названный в честь Пафнутый Чебышев, утверждает, что если

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$

и

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$

тогда

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

Аналогично, если

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}$

и

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$

тогда

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$^[1]

Доказательство

Рассмотрим сумму

${\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).}$

Две последовательности не возрастают, поэтому а_j − а_k и б_j − б_k иметь тот же знак для любого j, k. Следовательно S ≥ 0.

Раскрывая скобки, выводим:

${\displaystyle 0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k},}$

откуда

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)\,\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

Альтернативное доказательство просто получается с помощью перестановочное неравенство, пишу это

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\sum _{j=0}^{n-1}b_{j}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}a_{i}b_{j}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{k=0}^{n-1}a_{i}b_{i+k~{\text{mod}}~n}=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}b_{i+k~{\text{mod}}~n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}b_{i}=n\sum _{i}a_{i}b_{i}.}$

Непрерывная версия

Существует также непрерывная версия неравенства сумм Чебышева:

Если ж и грамм являются действительными, интегрируемыми функциями над [0,1], обе являются невозрастающими или оба неубывающими, то

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geq \int _{0}^{1}f(x)\,dx\int _{0}^{1}g(x)\,dx,}$

с обратным неравенством, если одно не увеличивается, а другое не убывает.

Смотрите также

• Неравенство Харди – Литтлвуда
• Неравенство перестановки

Примечания

1. Харди, Г. Х .; Littlewood, J. E .; Полиа, Г. (1988). Неравенства. Кембриджская математическая библиотека. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-35880-9. МИСТЕР  0944909.