Анализ характеристик режима - Characteristic mode analysis

Характерные режимы (CM) образуют набор функций, который при определенных граничных условиях диагонализирует оператор, связывающий поле и побудил источники. При определенных условиях набор КМ является уникальным и полным (по крайней мере, теоретически) и тем самым способен полностью описать поведение исследуемого объекта.

В данной статье рассматривается разложение характеристической моды в электромагнетизм, область, в которой первоначально была предложена теория CM.

Фон

Разложение CM было первоначально введено как набор режимов, диагонализирующих матрицу рассеяния.^[1][2] Впоследствии теория была обобщена Харрингтон и Mautz для антенн.^[3][4] Харрингтон, Маутц и их ученики также последовательно разработали несколько других расширений теории.^[5][6][7][8] Хотя некоторые предшественники^[9] были опубликованы еще в конце 1940-х годов, весь потенциал CM оставался нераспознанным еще 40 лет. Возможности CM были пересмотрены^[10] в 2007 году, и с тех пор интерес к CM резко возрос. Последующий бум теории КМ отражается в большом количестве известных публикаций и приложений.

Определение

Для простоты только оригинальная форма КМ - сформулирована для идеально электропроводящий (УИК) органы в свободное место - пойдет речь в этой статье. Электромагнитные величины будут представлены исключительно в виде изображений Фурье в частотная область. Датчик Лоренца используется.

Пример рассеивателя ${\displaystyle \Omega }$ состоит из идеального электрического проводника.

Рассеяние электромагнитная волна на теле PEC представляется через граничное условие на теле PEC, а именно

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }=-{\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} },}$

с ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}}$ представляющий унитарный нормальный на поверхность ПЭК, ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }}$ представляющая напряженность падающего электрического поля, и ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }}$ представляющий разбросанный напряженность электрического поля определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }=-\mathrm {j} \omega {\boldsymbol {A}}-\nabla \varphi ,}$

с ${\displaystyle \mathrm {j} }$ существование мнимая единица, ${\displaystyle \omega }$ существование угловая частота, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ существование векторный потенциал

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {r}}\right)=\mu _{0}\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle \mu _{0}}$ существование вакуумная проницаемость, ${\displaystyle \varphi }$ существование скалярный потенциал

${\displaystyle \varphi \left({\boldsymbol {r}}\right)=-{\frac {1}{\mathrm {j} \omega \epsilon _{0}}}\int \limits _{\Omega }\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle \epsilon _{0}}$ существование диэлектрическая проницаемость вакуума, ${\displaystyle G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)}$ скалярный Функция Грина

${\displaystyle G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} k\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}{4\pi \left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}}$

и ${\displaystyle k}$ существование волновое число. Интегро-дифференциальный оператор ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right)}$ - это тот, который нужно диагонализовать с помощью характеристических мод.

Основное уравнение разложения CM:

${\displaystyle {\mathcal {X}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)=\lambda _{n}{\mathcal {R}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)\qquad \mathrm {(1)} }$

с ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ действительная и мнимая части оператора импеданса соответственно: ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\cdot )={\mathcal {R}}(\cdot )+\mathrm {j} {\mathcal {X}}(\cdot )\,.}$ Оператор, ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ определяется

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {J}}\right)={\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right).\qquad \mathrm {(2)} }$

Результатом (1) является набор характеристических режимов ${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {J}}_{n}\right\}}$, ${\displaystyle n\in \left\{1,2,\dots \right\}}$, сопровождаемые соответствующими характеристическими числами ${\displaystyle \left\{\lambda _{n}\right\}}$. Ясно, что (1) обобщенная задача на собственные значения, которые, однако, не могут быть решены аналитически (за исключением нескольких канонических тел^[11]). Поэтому обычно используется численное решение, описанное в следующем абзаце.

Формулировка матрицы

Дискретность ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ тела рассеивателя ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle M}$ поддомены как ${\displaystyle \Omega ^{M}={\mathcal {D}}\left(\Omega \right)}$ и используя набор линейно независимых кусочно-непрерывных функций ${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\psi }}_{n}\right\}}$, ${\displaystyle n\in \left\{1,\dots ,N\right\}}$, позволяет плотность тока ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}}$ быть представленным как

Пример треугольной дискретизации рассеивателя (Делоне) ${\displaystyle \Omega ^{M}}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}\right)\approx \sum \limits _{n=1}^{N}I_{n}{\boldsymbol {\psi }}_{n}\left({\boldsymbol {r}}\right)}$

и применяя Метод Галеркина, оператор импеданса (2)

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {R} +\mathrm {j} \mathbf {X} =\left[Z_{uv}\right]=\left[\,\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {\psi }}_{u}^{\ast }\cdot {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {\psi }}_{v}\right)\,\mathrm {d} S\right].}$

Затем задача на собственные значения (1) преобразуется в ее матричную форму

${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {I} _{n}=\lambda _{n}\mathbf {R} \mathbf {I} _{n},}$

которую легко решить с помощью, например, обобщенное разложение Шура или неявно перезапущенный метод Арнольди дающий конечный набор коэффициентов разложения ${\displaystyle \left\{\mathbf {I} _{n}\right\}}$ и соответствующие характеристические числа ${\displaystyle \left\{\lambda _{n}\right\}}$. Свойства разложения CM исследуются ниже.

Первая (доминирующая) характерная мода формы ${\displaystyle \Omega ^{M}}$.

Второй характерный режим формы ${\displaystyle \Omega ^{M}}$.

Характеристики

Свойства разложения КМ демонстрируются в его матричной форме.

Прежде всего напомним, что билинейные формы

${\displaystyle P_{\mathrm {r} }\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} \geq 0}$

и

${\displaystyle 2\omega \left(W_{\mathrm {m} }-W_{\mathrm {e} }\right)\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} ,}$

где верхний индекс ${\displaystyle ^{\mathrm {H} }}$ обозначает Эрмитово транспонирование и где ${\displaystyle \mathbf {I} }$ представляет собой произвольное распределение поверхностного тока, соответствует излучаемой мощности и реактивной полезной мощности,^[12] соответственно. Следующие свойства могут быть легко дистиллированы:

• Матрица весов ${\displaystyle \mathbf {R} }$ теоретически положительно определен и ${\displaystyle \mathbf {X} }$ неопределенно. В Фактор Рэлея

${\displaystyle \lambda _{n}\approx {\frac {\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} _{n}}{\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} _{n}}}}$

затем охватывает классифицировать из ${\displaystyle -\infty \leq \lambda _{n}\leq \infty }$ и указывает, является ли характеристический режим емкостным (${\displaystyle \lambda _{n}<0}$), индуктивная (${\displaystyle \lambda _{n}>0}$) или в резонансе (${\displaystyle \lambda _{n}=0}$). На самом деле фактор Рэлея ограничен численной динамикой точность станка и количество правильно найденных режимов ограничено.

• Характеристические числа меняются с частотой, т. Е. ${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda _{n}\left(\omega \right)}$, они могут пересекаться друг с другом, а могут быть одинаковыми (в случае вырождений ^[13]). По этой причине часто применяется отслеживание режимов для получения плавных кривых. ${\displaystyle \lambda _{n}\left(\omega \right)}$.^{[14][15][16][17][18]} К сожалению, это отчасти эвристический процесс, и алгоритмы отслеживания еще далеки от совершенства.^[11]
• Характерные режимы можно выбрать как действительные функции, ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}\in \mathbb {R} ^{N\times 1}}$. Другими словами, характеристические режимы образуют набор эквифазных токов.
• Разложение ЦМ инвариантно относительно амплитуды характеристических мод. Этот факт используется для нормализации тока, чтобы они излучали единичную излучаемую мощность.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{m}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} \mathbf {I} _{n}\approx \left(1+\mathrm {j} \lambda _{n}\right)\delta _{mn}.}$

Последнее соотношение представляет способность характеристических мод диагонализовать оператор импеданса (2) и демонстрирует дальнее поле ортогональность, т.е.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{\mu _{0}}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }{\boldsymbol {F}}_{m}^{\ast }\cdot {\boldsymbol {F}}_{n}\sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi =\delta _{mn}.}$

Модальные количества

Модальные токи можно использовать для оценки параметров антенны в их модальной форме, например:

• модальное дальнее поле ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)}$ (${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {e}}}}$ — поляризация, ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}}$ - направление),^[3]
• модальный направленность ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)}$,
• модальная эффективность излучения ${\displaystyle \eta _{n}}$,^[19]
• модальный коэффициент качества ${\displaystyle Q_{n}}$,^[20]
• модальный импеданс ${\displaystyle Z_{n}}$.

Эти величины можно использовать для анализа, синтеза питания, оптимизации формы излучателя или определения характеристик антенны.

Приложения и дальнейшее развитие

Количество потенциальных приложений огромно и продолжает расти:

• антенный анализ и синтез,^[21][22][23]
• дизайн MIMO антенны,^{[24][25][26][27]}
• компактная конструкция антенны (RFID, Вай фай ),^[28][29]
• БПЛА антенны,^[30]
• селективное возбуждение шасси и платформ,^[31]
• уменьшение заказа модели,^[32]
• увеличение пропускной способности,^[33][34]
• нанотрубки^[35] и метаматериалы,^[36][37]
• валидация вычислительных кодов электромагнетизма.^[11]

Перспективные темы включают

• электрически большие конструкции, рассчитанные с использованием MLFMA,^[38]
• диэлектрики^[7][39]
• использование комбинированного интегрального уравнения поля,^[40]
• периодические структуры,
• формулировка массивов.^[41]

Программного обеспечения

Разложение CM недавно было реализовано в основных электромагнитных симуляторах, а именно в FEKO,^[42] CST-MWS,^[43] и WIPL-D.^[44] Другие пакеты скоро будут поддерживать его, например HFSS.^[45] и CEM One.^[46] Кроме того, существует множество внутренних и академических пакетов, которые способны оценивать CM и многие связанные параметры.

Альтернативные базы

CM полезны для лучшего понимания работы радиатора. Они с большим успехом использовались во многих практических целях. Однако важно подчеркнуть, что они не идеальны, и часто лучше использовать другие составы, такие как энергетические режимы,^[47] режимы излучения,^[47] режимы накопленной энергии^[32] или режимы эффективности излучения.^[48]

Рекомендации

1. Гарбач, Р.Дж. (1965). «Модальные разложения для явлений резонансного рассеяния». Труды IEEE. 53 (8): 856–864. Дои:10.1109 / proc.1965.4064. ISSN  0018-9219.
2. Гарбач, Р. Дж., "Обобщенное расширение для излучаемых и рассеянных полей", доктор философии. докторская диссертация, кафедра электротехники, Университет штата Огайо, 1968.
3. Харрингтон, Р.; Маутц, Дж. (1971). «Теория характерных мод для проводящих тел». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 19 (5): 622–628. Bibcode:1971ITAP ... 19..622H. Дои:10.1109 / тап.1971.1139999. ISSN  0096-1973.
4. Харрингтон, Р.; Маутц, Дж. (1971). «Расчет характеристических режимов для проводящих тел». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 19 (5): 629–639. Bibcode:1971ITAP ... 19..629H. Дои:10.1109 / тап.1971.1139990. ISSN  0096-1973.
5. Chang, Y .; Харрингтон, Р. (1977). «Формулировка поверхности для характерных мод материальных тел». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 25 (6): 789–795. Bibcode:1977ITAP ... 25..789C. Дои:10.1109 / тап.1977.1141685. ISSN  0096-1973.
6. Харрингтон, Р.Ф.; Маутц, Дж. Р. (1985). «Характерные режимы для апертурных проблем». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения. 33 (6): 500–505. Bibcode:1985ITMTT..33..500H. Дои:10.1109 / tmtt.1985.1133105. ISSN  0018-9480.
7. Харрингтон, Р.Ф.; Mautz, J.R .; Чанг, Ю. (март 1972 г.). «Характерные режимы для диэлектрических и магнитных тел». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 20 (2): 194–198. Bibcode:1972ITAP ... 20..194H. Дои:10.1109 / TAP.1972.1140154.
8. Эль-Хадж, А .; Kabalan, K.Y .; Харрингтон, Р.Ф. (1993). «Анализ характеристик режима электромагнитной связи через несколько щелей в проводящей плоскости». IEE Proceedings H - Микроволны, антенны и распространение. 140 (6): 421. Дои:10.1049 / ip-h-2.1993.0069. ISSN  0950-107X.
9. Montgomery, C.G .; Dicke, R.H .; Перселл, Э. М., Принципы работы микроволновых цепей, раздел 9.24, Нью-Йорк, США: McGraw-Hill, 1948.
10. Кабедо-Фабрес, Марта; Антонино-Давиу, Ева; Валеро-Ногейра, Алехандро; Баталлер, Мигель (2007). "Теория характеристических режимов: новый взгляд: вклад в разработку антенн для современных приложений". Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine. 49 (5): 52–68. Bibcode:2007 IAPM ... 49 ... 52C. Дои:10.1109 / map.2007.4395295. ISSN  1045-9243. S2CID  32826951.
11. Чапек, Милослав; Лосеницкий, Вит; Елинек, Лукас; Густафссон, Матс (2017). «Проверка характерных решателей режимов». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 65 (8): 4134–4145. arXiv:1702.07037. Bibcode:2017ITAP ... 65.4134C. Дои:10.1109 / тап.2017.2708094. ISSN  0018-926X. S2CID  20773017.
12. Харрингтон, Р.Ф., Вычисление поля моментными методами, Wiley - IEEE Press, 1993.
13. Schab, K. R .; Бернхард, Дж. Т. (2017). «Правило теории групп для прогнозирования пересечений собственных значений в анализах характеристических режимов». Антенны IEEE и письма о беспроводном распространении. 16: 944–947. Bibcode:2017IAWPL..16..944S. Дои:10.1109 / lawp.2016.2615041. ISSN  1536-1225. S2CID  29709098.
14. Чапек, Милослав; Хаздра, Павел; Хамуз, Павел; Эйхлер, янв (2011). «Метод отслеживания характеристических чисел и векторов». Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма B. 33: 115–134. Дои:10.2528 / pierb11060209. ISSN  1937-6472.
15. Рейнс, Брайан Д .; Рохас, Роберто Г. (2012). «Отслеживание широкополосного характеристического режима». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 60 (7): 3537–3541. Bibcode:2012ITAP ... 60.3537R. Дои:10.1109 / тап.2012.2196914. ISSN  0018-926X. S2CID  22449106.
16. Ludick, D.J .; Jakobus, U .; Фогель, М. (2014). Алгоритм отслеживания собственных векторов, вычисленных с анализом характеристических мод. Труды 8-й Европейской конференции по антеннам и распространению радиоволн. IEEE. С. 569–572. Дои:10.1109 / eucap.2014.6901820. ISBN  978-88-907018-4-9.
17. Майерс, Захари; Лау, Буон Кионг (2015). «Отслеживание широкополосного характеристического режима с использованием диаграмм направленности в дальней зоне». Антенны IEEE и письма о беспроводном распространении. 14: 1658–1661. Bibcode:2015IAWPL..14.1658M. Дои:10.1109 / lawp.2015.2417351. ISSN  1536-1225. S2CID  113730.
18. Сафин, Евгений; Мантейфель, Дирк (2016). «Расширенное отслеживание собственных значений характеристических режимов». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 64 (7): 2628–2636. Bibcode:2016ITAP ... 64.2628S. Дои:10.1109 / тап.2016.2556698. ISSN  0018-926X. S2CID  5243996.
19. Чапек, Милослав; Хаздра, Павел; Эйхлер, янв (9 января 2015 г.). «Оценка эффективности излучения по характеристическим токам». IET Микроволны, антенны и распространение. 9 (1): 10–15. Дои:10.1049 / iet-map.2013.0473. ISSN  1751-8725.
20. Чапек, Милослав; Хаздра, Павел; Эйхлер, Янв (2012). «Метод оценки радиационного Q на основе модального подхода». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 60 (10): 4556–4567. Bibcode:2012ITAP ... 60.4556C. Дои:10.1109 / тап.2012.2207329. ISSN  0018-926X. S2CID  38814430.
21. У, Ци; Су, Дунлинь (2013). «Широкополосная модель характеристических токов для прямоугольных пластин». IEEE Transactions по электромагнитной совместимости. 55 (4): 725–732. Дои:10.1109 / temc.2012.2221718. ISSN  0018-9375. S2CID  25382863.
22. Фогель, Мартин; Гампала, Гопинатх; Людик, Дэни; Редди, Си-Джей (2015). «Анализ характерных мод: возвращение физики в моделирование». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine. 57 (2): 307–317. Bibcode:2015IAPM ... 57..307V. Дои:10.1109 / map.2015.2414670. ISSN  1045-9243. S2CID  40055108.
23. Ян, Бинбинь; Адамс, Джейкоб Дж. (2016). «Вычисление и визуализация входных параметров произвольных плоских антенн с помощью собственных функций». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 64 (7): 2707–2718. Bibcode:2016ITAP ... 64.2707Y. Дои:10.1109 / тап.2016.2554604. ISSN  0018-926X. S2CID  8934250.
24. Ли, Хуэй; Майерс, Захари Томас; Лау, Буон Кионг (2014). «Разработка ортогональных телефонных антенн MIMO на основе манипуляции с характеристиками режима в полосах частот ниже 1 ГГц» (PDF). Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 62 (5): 2756–2766. Bibcode:2014ITAP ... 62.2756L. Дои:10.1109 / тап.2014.2308530. ISSN  0018-926X. S2CID  4799078.
25. Дэн, Чанцзян; Фэн, Чжэнхэ; Хум, Шон Виктор (2016). "Режимы слияния характеристических режимов антенны мобильного телефона MIMO для увеличения пропускной способности". Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 64 (7): 2660–2667. Bibcode:2016ITAP ... 64.2660D. Дои:10.1109 / тап.2016.2537358. ISSN  0018-926X. S2CID  24079958.
26. Ян, Бинбинь; Адамс, Джейкоб Дж. (2016). «Систематическая оптимизация формы симметричных антенн MIMO с использованием характеристических режимов». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 64 (7): 2668–2678. Bibcode:2016ITAP ... 64.2668Y. Дои:10.1109 / тап.2015.2473703. ISSN  0018-926X. S2CID  46283754.
27. Eichler, J .; Hazdra, P .; Чапек, М .; Коринек, Т .; Хамуз, П. (2011). "Дизайн двухдиапазонной ортогонально поляризованной L-зонда фрактальной патч-антенны с использованием модальных методов". Антенны IEEE и письма о беспроводном распространении. 10: 1389–1392. Bibcode:2011IAWPL..10.1389E. Дои:10.1109 / lawp.2011.2178811. ISSN  1536-1225. S2CID  35839331.
28. Резайсарлак, Реза; Мантеги, Маджид (2015). «Дизайн бескристальных RFID-меток на основе теории характеристических мод (CMT)». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 63 (2): 711–718. Bibcode:2015ITAP ... 63..711R. Дои:10.1109 / тап.2014.2382640. ISSN  0018-926X. S2CID  25302365.
29. Bohannon, Nicole L .; Бернхард, Дженнифер Т. (2015). «Рекомендации по проектированию с использованием теории характеристического режима для улучшения пропускной способности PIFA». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 63 (2): 459–465. Bibcode:2015ITAP ... 63..459B. Дои:10.1109 / тап.2014.2374213. ISSN  0018-926X. S2CID  25557684.
30. Чен, Икай; Ван, Чао-Фу (2014). «Конструкция электрически малогабаритной антенны БПЛА с использованием характерных режимов». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 62 (2): 535–545. Bibcode:2014ITAP ... 62..535C. Дои:10.1109 / тап.2013.2289999. ISSN  0018-926X. S2CID  24095192.
31. Austin, B.A .; Мюррей, К. (1998). «Применение методов характеристического режима к автомобильным антеннам NVIS». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine. 40 (1): 7–21. Bibcode:1998ИАПП ... 40 .... 7А. Дои:10.1109/74.667319. ISSN  1045-9243.
32. Gustafsson, M .; Тайли, Д .; Ehrenborg, C .; Cismasu, M .; Норбедо, С. (май – июнь 2016 г.). «Оптимизация тока антенны с использованием MATLAB и CVX». ФЕРМАТ. 15: 1–29.
33. Адамс, Джейкоб Дж .; Бернхард, Дженнифер Т. (2013). «Модели широкополосных эквивалентных схем для импедансов и полей антенн с использованием характеристических режимов». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 61 (8): 3985–3994. Bibcode:2013ITAP ... 61.3985A. Дои:10.1109 / тап.2013.2261852. ISSN  0018-926X. S2CID  36450355.
34. Сафин, Евгений; Мантейфель, Дирк (2015). «Манипуляция характеристическими волновыми модами импедансной нагрузкой». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 63 (4): 1756–1764. Bibcode:2015ITAP ... 63.1756S. Дои:10.1109 / tap.2015.2401586. ISSN  0018-926X. S2CID  43837433.
35. Hassan, Ahmed M .; Варгас-Лара, Фернандо; Дуглас, Джек Ф .; Гарбоци, Эдвард Дж. (2016). "Электромагнитные резонансы отдельных однослойных углеродных нанотрубок реалистичной формы: подход характерных режимов". Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 64 (7): 2743–2757. Bibcode:2016ITAP ... 64.2743H. Дои:10.1109 / тап.2016.2526046. ISSN  0018-926X. S2CID  22633919.
36. Рабах, М. Хассанейн; Ситхарамду, Дивита; Бербино, Марион (2016). "Анализ миниатюрных метаматериалов и магнитодиэлектрических патч-антенн произвольной формы с использованием характеристических режимов: оценка фактора $ Q $". Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 64 (7): 2719–2731. Bibcode:2016ITAP ... 64.2719R. Дои:10.1109 / тап.2016.2571723. ISSN  0018-926X. S2CID  23639874.
37. Рабах, М. Хассанейн; Ситхарамду, Дивита; Бербино, Марион; Де Люстрак, Андре (2016). «Новые метрики искусственного магнетизма из металл-диэлектрического метаматериала на основе теории характеристических режимов». Антенны IEEE и письма о беспроводном распространении. 15: 460–463. Bibcode:2016IAWPL..15..460R. Дои:10.1109 / lawp.2015.2452269. ISSN  1536-1225. S2CID  21297328.
38. Дай, Ци И .; Ву, Цзюньвэй; Ган, Хуэй; Лю, Цинь С .; Чу, Вен Чо; Ша, Вэй Э. И. (2016). «Анализ крупномасштабных характеристических мод с помощью быстрых многополюсных алгоритмов». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 64 (7): 2608–2616. Bibcode:2016ITAP ... 64.2608D. Дои:10.1109 / тап.2016.2526083. ISSN  0018-926X.
39. Го, Ливен; Чен, Икай; Ян, Шивэнь (2017). "Формулировка характеристического режима для проводящих тел с диэлектрическим покрытием". Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 65 (3): 1248–1258. Bibcode:2017ITAP ... 65.1248G. Дои:10.1109 / тап.2016.2647687. ISSN  0018-926X. S2CID  22204106.
40. Дай, Ци И .; Лю, Цинь С .; Gan, Hui U. I .; Чу, Вен Чо (2015). «Комбинированная теория характеристических мод на основе интегральных уравнений поля». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 63 (9): 3973–3981. arXiv:1503.01449. Bibcode:2015ITAP ... 63.3973D. Дои:10.1109 / тап.2015.2452938. ISSN  0018-926X. S2CID  5981282.
41. Цанидис, Иоаннис; Сертель, Кубилай; Волакис, Джон Л. (2012). «Характерный угол возбуждения для сверхширокополосных плотно связанных антенных решеток». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 60 (4): 1777–1784. Bibcode:2012ITAP ... 60.1777T. Дои:10.1109 / тап.2012.2186269. ISSN  0018-926X. S2CID  6695379.
42. Альтаир, [Онлайн: [https://web.archive.org/web/20170804092401/http://feko.info/ В архиве 2017-08-04 в Wayback Machine ФЭКО], 2017.
43. Dassault Systemes, CST Computer Simulation Technology, [Онлайн: CST-MWS ], 2017.
44. WIPL-D d.o.o., [Онлайн: WIPL-D ], 2017.
45. ANSYS, [Онлайн: HFSS ], 2017.
46. ESI Group, [Онлайн: CEM One ], 2017.
47. Schab, Kurt R .; Бернхард, Дженнифер Т. (2015). «Режимы тока излучения и накопления энергии на проводящих конструкциях». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 63 (12): 5601–5611. Bibcode:2015ITAP ... 63.5601S. Дои:10.1109 / тап.2015.2490664. ISSN  0018-926X. S2CID  32795820.
48. Елинек, Лукас; Чапек, Милослав (2017). «Оптимальные токи на поверхностях произвольной формы». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 65 (1): 329–341. arXiv:1602.05520. Bibcode:2017ITAP ... 65..329J. Дои:10.1109 / тап.2016.2624735. ISSN  0018-926X. S2CID  27699901.