Смена клетчатки - Change of fiber

В алгебраической топологии, учитывая расслоение п:E→B, то смена волокна - отображение между слоями, индуцированное путями в B.

Поскольку покрытие является расслоением, конструкция обобщает соответствующие факты теории перекрытия.

Определение

Если β это путь в B что начинается, скажем, б, то имеем гомотопию ${\displaystyle h:p^{-1}(b)\times I\to I{\overset {\beta }{\to }}B}$ где первая карта - это проекция. С п является расслоением свойство гомотопического подъема, час поднимает до гомотопии ${\displaystyle g:p^{-1}(b)\times I\to E}$ с ${\displaystyle g_{0}:p^{-1}(b)\hookrightarrow E}$. У нас есть:

${\displaystyle g_{1}:p^{-1}(b)\to p^{-1}(\beta (1))}$.

(Может быть двусмысленность и поэтому ${\displaystyle \beta \mapsto g_{1}}$ не нужно четко определять.)

Позволять ${\displaystyle \operatorname {Pc} (B)}$ обозначим множество классы пути в B. Мы утверждаем, что конструкция определяет карту:

${\displaystyle \tau :\operatorname {Pc} (B)\to }$ множество гомотопических классов отображений.

Предположим, что β, β 'принадлежат к одному классу путей; таким образом, существует гомотопия час от β до β '. Позволять

${\displaystyle K=I\times \{0,1\}\cup \{0\}\times I\subset I^{2}}$.

Рисуя картинку, возникает гомеоморфизм ${\displaystyle I^{2}\to I^{2}}$ что ограничивается гомеоморфизмом ${\displaystyle K\to I\times \{0\}}$. Позволять ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\times K\to E}$ быть таким, чтобы ${\displaystyle f(x,s,0)=g(x,s)}$, ${\displaystyle f(x,s,1)=g'(x,s)}$ и ${\displaystyle f(x,0,t)=x}$.

Тогда, благодаря свойству гомотопического подъема, мы можем поднять гомотопию ${\displaystyle p^{-1}(b)\times I^{2}\to I^{2}{\overset {h}{\to }}B}$ к ш такой, что ш ограничивается ${\displaystyle f}$. В частности, у нас есть ${\displaystyle g_{1}\sim g_{1}'}$, установление иска.

Из конструкции ясно, что отображение является гомоморфизмом: если ${\displaystyle \gamma (1)=\beta (0)}$,

${\displaystyle \tau ([c_{b}])=\operatorname {id} ,\,\tau ([\beta ]\cdot [\gamma ])=\tau ([\beta ])\circ \tau ([\gamma ])}$

куда ${\displaystyle c_{b}}$ постоянный путь в б. Следует, что ${\displaystyle \tau ([\beta ])}$ имеет обратный. Следовательно, мы действительно можем сказать:

${\displaystyle \tau :\operatorname {Pc} (B)\to }$ множество гомотопических классов гомотопических эквивалентностей.

Также у нас есть: для каждого б в B,

${\displaystyle \tau :\pi _{1}(B,b)\to }$ {[ƒ] | гомотопическая эквивалентность ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to p^{-1}(b)}$ }

который является гомоморфизмом групп (правая часть, очевидно, группа). Другими словами, фундаментальная группа B в б действует на волокно б, вплоть до гомотопии. Этот факт является полезной заменой отсутствия структурная группа.

Последствие

Одним из следствий конструкции является следующее:

• Волокна п над компонентой пути гомотопически эквивалентны друг другу.

Рекомендации

• Джеймс Ф. Дэвис, Пол Кирк, Конспект лекций по алгебраической топологии
• Мэй, Дж. Краткий курс алгебраической топологии