Метод эквивалентности Картана - Cartans equivalence method

В математика, Метод эквивалентности Картана это техника в дифференциальная геометрия для определения совпадения двух геометрических структур с точностью до диффеоморфизм. Например, если M и N два Римановы многообразия с метриками грамм и чассоответственно, когда существует диффеоморфизм

${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$

такой, что

${\displaystyle \phi ^{*}h=g}$?

Хотя ответ на этот конкретный вопрос был известен в измерении от 2 до Гаусс и в более высоких измерениях Кристоффель и, возможно Риман также, Эли Картан и его интеллектуальные наследники разработали методику ответа на аналогичные вопросы для радикально различных геометрических структур. (Например, см. Алгоритм Картана – Карлхеде.)

Картан успешно применил свой метод эквивалентности ко многим таким структурам, включая проективные структуры, Структуры CR, и сложные конструкции, а также якобы не геометрические структуры, такие как эквивалентность Лагранжианы и обыкновенные дифференциальные уравнения. (Его методы позже были развиты более полно многими другими, такими как Д. К. Спенсер и Шиинг-Шен Черн.)

Метод эквивалентности по сути алгоритмический процедура определения идентичности двух геометрических структур. Для Картана первичная геометрическая информация выражалась в виде рама или сборку рам на дифференцируемое многообразие. Видеть метод перемещения кадров.

Обзор

В частности, предположим, что M и N представляют собой пару многообразий, каждое из которых несет G-структура для структурной группы грамм. Это равносильно предоставлению специального класса рам на M и N. Метод Картана решает вопрос о существовании локального диффеоморфизма φ:M→N под которым грамм-структура на N возвращается к данному грамм-структура на M. Проблема эквивалентности была "решено" если можно дать полный набор структурных инвариантов для грамм-структура: означает, что такой диффеоморфизм существует тогда и только тогда, когда все структурные инварианты согласуются в подходящем смысле.

Явно локальные системы одноформ θ^я и γ^я даны на M и Nсоответственно, которые охватывают соответствующие кокасательные расслоения (т.е. рамы ). Вопрос в том, существует ли локальный диффеоморфизм φ:M→N так что откат рамы на N удовлетворяет

${\displaystyle \phi ^{*}\gamma ^{i}(y)=g_{j}^{i}(x)\theta ^{j}(x),\ (g_{j}^{i})\in G}$ (1)

где коэффициент грамм это функция на M принимая ценности в Группа Ли грамм. Например, если M и N римановы многообразия, то грамм=О(п) - ортогональная группа и θ^я и γ^я находятся ортонормированный каркасы M и N соответственно. Тогда вопрос о том, изометричны ли два римановых многообразия, является вопросом о том, существует ли диффеоморфизм φ, удовлетворяющий (1).

Первым шагом в методе Картана является выражение отношения отката (1) как можно более инвариантным способом посредством использования символа "продление". Самый экономичный способ сделать это - использовать грамм-подвязка ВЕЧЕРА основного пучка линейных корпусов LM, хотя такой подход может привести к ненужным сложностям при выполнении реальных расчетов. В частности, далее в этой статье используется другой подход. Но для целей обзора удобно придерживаться основной точки зрения на связку.

Второй шаг - использовать инвариантность диффеоморфизма внешняя производная чтобы попытаться изолировать любые другие инварианты высшего порядка грамм-структура. В основном получается связь в основном расслоении ВЕЧЕРА, с некоторым кручением. Компоненты связности и кручения рассматриваются как инварианты задачи.

Третий шаг заключается в том, что если оставшиеся коэффициенты кручения непостоянны в слоях основного расслоения ВЕЧЕРА, часто возможно (хотя иногда и сложно) нормализовать их, установив их равными удобному постоянному значению и решив эти уравнения нормализации, тем самым уменьшив эффективную размерность группы Ли грамм. Если это происходит, человек возвращается к первому шагу, и теперь у него есть группа Ли одного более низкого измерения, с которой можно работать.

Четвертый шаг

Основная цель первых трех шагов заключалась в том, чтобы максимально уменьшить структуру самой группы. Предположим, что проблема эквивалентности проходила цикл достаточно раз, чтобы дальнейшее сокращение было невозможным. На данный момент существуют различные возможные направления, в которых ведет метод эквивалентности. Для большинства проблем эквивалентности существует только четыре случая: полная редукция, инволюция, продолжение и вырождение.

Полное сокращение. Здесь структурная группа полностью сведена к тривиальная группа. Теперь проблему можно решить такими методами, как Теорема Фробениуса. Другими словами, алгоритм успешно завершился.

С другой стороны, возможно, что коэффициенты кручения постоянны на волокнах ВЕЧЕРА. Эквивалентно, они больше не зависят от группы Ли. грамм потому что нормализовать уже нечего, хотя скручивание может быть. Три оставшихся случая предполагают это.

Инволюция. Проблема эквивалентности называется инволютивный (или же в инволюции) если пройдет Тест Картана. По сути, это ранговое условие связи, полученной на первых трех шагах процедуры. Тест Картана обобщает Теорема Фробениуса о разрешимости линейных систем первого порядка дифференциальных уравнений в частных производных. Если рамы на M и N (полученные путем тщательного применения первых трех шагов алгоритма) соглашаются и удовлетворяют тесту Картана, затем два грамм-структуры эквивалентны. (На самом деле, насколько известно автору, рамы должны быть настоящий аналитик для этого, потому что Теорема Картана-Келера требует аналитичности.)

Продление. Это сложнейший случай. На самом деле есть два подслучая. В первом подслучае все скручивание может однозначно поглощаться соединительной формой. (Римановы многообразия являются примером, поскольку связность Леви-Чивиты поглощает все кручение). Коэффициенты связности и их инвариантные производные образуют полный набор инвариантов структуры, и проблема эквивалентности решается. Однако во втором подслучае либо невозможно поглотить все кручение, либо возникает некоторая двусмысленность (как это часто бывает в Гауссово исключение, Например). Здесь, как и в случае исключения Гаусса, появляются дополнительные параметры при попытке поглотить кручение. Эти параметры сами по себе оказываются дополнительными инвариантами задачи, поэтому структурная группа грамм должно быть продолжительный в подгруппу реактивная группа. Как только это будет сделано, мы получим новый кофрейм на продолжительном пространстве и должны вернуться к первому шагу метода эквивалентности. (Смотрите также продолжение G-структур.)

Вырождение. Из-за неоднородности некоторого условия ранга метод эквивалентности неэффективен в решении этой конкретной проблемы эквивалентности. Например, рассмотрим проблему эквивалентности отображения многообразия M с одной одноформой θ на другое многообразие с одной одноформой γ такой, что φ * γ = θ. Необходимо учитывать нули этих единиц, а также ранг их внешних производных в каждой точке. Метод эквивалентности может справиться с такими проблемами, если все ранги одинаковы, но он не всегда подходит, если ранг меняется. Конечно, в зависимости от конкретного приложения большой объем информации все же можно получить с помощью метода эквивалентности.

Рекомендации

• Олвер, П.Дж. (1995). Эквивалентность, инварианты и симметрия. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-521-47811-1.