Рассеяние носителей - Carrier scattering

Типы дефектов включают атомные вакансии, адатомы, ступеньки и изгибы, которые наиболее часто возникают на поверхностях из-за конечного размера материала, вызывая нарушение сплошности кристаллов. Общим для всех типов дефектов, будь то поверхностные или объемные дефекты, является то, что они создают болтающиеся облигации которые имеют определенные уровни энергии электронов, отличные от основных. Эта разница возникает из-за того, что эти состояния нельзя описать периодическими Волны Блоха из-за изменения потенциальной энергии электронов, вызванного отсутствием ионных остовов вне поверхности. Следовательно, это локализованные состояния, которые требуют отдельных решений уравнения Шредингера, чтобы можно было правильно описать энергии электронов. Нарушение периодичности приводит к снижению проводимости за счет рассеяние на дефектах.

Электронные уровни энергии оборванных связей полупроводников

Рисунок 1: Энергетическая диаграмма Харрисона энергий электронов на разных стадиях формирования кристалла Si. Вертикальная ось - энергия. 3s- и 3p-орбитали гибридизуются на одном атоме Si, что энергетически невыгодно, потому что 2 3s-электроны получают больше энергии, чем теряют 2 3p-электроны. Благоприятное образование димера формирует связывающие (b) и антисвязывающие (b *) состояния, в конечном итоге приводя к чистой потере энергии, а последующее добавление атомов создает кристаллообразующие зоны проводимости (CB) и валентные зоны (VB). Состояния оборванных облигаций (db) эквивалентны отсутствующему sp³ связь.

Более простой и качественный способ определения уровней энергии оборванных связей - с помощью диаграмм Харрисона.^[1][2] Металлы имеют ненаправленное соединение и небольшую Длина Дебая что из-за их заряженной природы делает оборванные связи несущественными, если их вообще можно считать существующими. Полупроводники диэлектрики поэтому электроны могут чувствовать себя в дефектных энергетических состояниях и застревать в них. Уровни энергии этих состояний определяются атомами, составляющими твердое тело. На рис. 1 представлена ​​диаграмма Хариссона для элементарного полупроводника Si. Слева направо гибридизация s-орбиталей и p-орбиталей способствует развитию sp.³ склеивание, которое при многократном³ Димеры Si-Si объединяются в твердое тело, определяющее зону проводимости и валентную зону. Если бы вакансия существовала, например, на каждом атоме на границе твердое тело / вакуум, это привело бы, по крайней мере, к одной сломанной sp³ связь, которая имеет энергию, равную энергии одиночных самогибридизованных атомов Si, как показано на рисунке 1. Эта энергия соответствует примерно середине запрещенной зоны Si, на ~ 0,55 эВ выше валентной зоны. Безусловно, это наиболее идеальный случай, тогда как ситуация была бы иной, если бы пассивация облигаций (см. Ниже) и реконструкция поверхности, например, должны были произойти. Экспериментально энергии этих состояний можно определить с помощью абсорбционная спектроскопия или же Рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия, например, если чувствительность прибора и / или плотность дефектов достаточно высоки.

Рисунок 2: Энергетическая диаграмма электронов Харрисона для полупроводникового соединения III-IV GaAs. Так же, как и для Si, кристалл построен с добавлением гибридизированных димеров GaAs. Поскольку вакансии вызывают оборванные связи Ga, образующие состояния вблизи CB. Вакансии Ga образуют оборванные связи As, энергия которых близка к VB. VB состоит в основном из «As-подобных» состояний, поскольку ионность помещает электроны на атомы As, и, как следствие, CB-состояния являются «Ga-подобными».

Сложные полупроводники, такие как GaAs, имеют оборванные состояния связи, которые находятся ближе к краям зоны (см. Рисунок 2). Поскольку связывание становится все более ионным, эти состояния могут даже действовать как присадки. Это является причиной хорошо известной трудности легирования GaN p-типа, при котором много вакансий N из-за высокого давления пара, что приводит к высокой плотности оборванных связей Ga. Эти состояния близки к краю зоны проводимости и поэтому действуют как доноры. Когда вводятся акцепторные примеси p-типа, они немедленно компенсируются N вакансиями. С этими мелкими состояниями их обработка часто рассматривается как аналог атома водорода следующим образом для случая анионных или катионных вакансий (эффективная масса дырки m * для катиона и электрон m * для анионных вакансий). Энергия связи, E_c-E_db, является
${displaystyle E_{c}-E_{db}=U+KE={frac {1}{2}}U;;(1)}$
где U = -q²/ (4πεε_рr) - электростатический потенциал между электроном, занимающим оборванную связь, и его ионным остовом с ε, постоянная диэлектрической проницаемости свободного пространства ε_р, относительная диэлектрическая проницаемость и r расстояние между электронно-ионным остовом. Упрощение, заключающееся в том, что поступательная энергия электрона KE = -U / 2, обусловлена теорема вириала для центросимметричных потенциалов. Как описано в Модель Бора, r подлежит квантованию
${displaystyle nlambda =2pi r;;(2)}$.
Импульс электрона p = mv = h / λ такой, что
${displaystyle KE={frac {p^{2}}{2m^{*}}}={frac {h^{2}n^{2}}{8m^{*}pi ^{2}r^{2}}}=-{frac {U}{2}}={frac {q^{2}}{8pi varepsilon varepsilon _{r}r}};;(3)}$
в результате чего
${displaystyle r={frac {4pi hbar ^{2}n^{2}varepsilon varepsilon _{r}}{q^{2}m^{*}}};;(4)}$
и
${displaystyle E_{c}-E_{db}={frac {U}{2}}={frac {m^{*}q^{4}}{8h^{2}(varepsilon varepsilon _{r})^{2}}};;(5)}$.
Эта обработка теряет точность, так как дефекты уходят от края ленты.

Рассеяние дефектов

Уровни энергии оборванных связей являются собственными значениями волновых функций, которые описывают электроны в окрестности дефектов. В типичном рассмотрении рассеяния носителей это соответствует конечному состоянию в Золотое правило Ферми частоты рассеяния:
${displaystyle S_{k'k}={frac {2pi }{hbar }}|<f|H'|i>|^{2}delta (E_{f}-E_{i});;(6)}$
где H '- параметр взаимодействия, а Дельта-функция Дирака, δ (E_ж-E_я), указывая упругое рассеяние. Простое соотношение 1 / τ = Σ_{к ', к} S_к'к делает это уравнение полезным для характеристики свойств переноса материала при использовании в сочетании с σ = ne²τ / м * и Правило Маттиссена включить другие процессы рассеяния.

Значение S_к'к в первую очередь определяется параметром взаимодействия H '. Этот термин различается в зависимости от того, рассматриваются ли мелкие или глубокие состояния. Для неглубоких состояний H 'представляет собой член возмущения переопределенного гамильтониана H = H_о+ H ', с H_о имеющий энергию собственного значения E_я. Матрица для этого случая ^[3]
${displaystyle <f|H'|i>equiv M_{k'k}={frac {1}{V}}int d{ar {r}}H'e^{i{ar {r}}({ar {k}}-{ar {k}}')}={frac {1}{V}}sum _{ar {q}}int d{ar {r}}H_{ar {q}}e^{i{ar {r}}({ar {k}}-{ar {k}}'+{ar {q}})}={frac {1}{V}}sum _{ar {q}}H_{ar {q}}delta _{{ar {k}}-{ar {k}}'},_{ar {q}}={frac {1}{V}}H_{ar {q}};;(7)}$
где k '- волновой вектор конечного состояния, у которого есть только одно значение, поскольку плотность дефектов достаточно мала, чтобы не образовывать полосы (~ <10¹⁰/см²). Используя уравнение Пуассона для периодических точечных зарядов Фурье,
${displaystyle abla ^{2}V({ar {r}})={frac {-edelta ({ar {r}})}{varepsilon varepsilon _{r}}}=-sum _{ar {q}}{ar {q}}^{2}V_{ar {q}}e^{i{ar {q}}{ar {r}}}={frac {-e}{Vvarepsilon varepsilon _{r}}} sum _{ar {q}}e^{i{ar {q}}{ar {r}}};;(8)}$,
дает коэффициент Фурье потенциала оборванной связи V_q= e / (q²εε_рV) где V - объем. Это приводит к
${displaystyle H_{ar {q}}=-eV_{ar {q}}={frac {-e^{2}}{{ar {q}}^{2}varepsilon varepsilon _{r}V}}={frac {-e^{2}}{({ar {q}}^{2}+q_{s}^{2})varepsilon varepsilon _{r}V}};;(9)}$
где q_s это Длина Дебая поправка волнового вектора за счет экранирования заряда. Тогда частота рассеяния равна
${displaystyle {frac {1}{ au }}=sum _{{ar {k}}',{ar {k}}}S_{{ar {k}}'{ar {k}}}=nsum _{ar {k}}{frac {2pi }{hbar }}{frac {e^{4}delta (E_{ar {k}}-E_{{ar {k}}'})}{varepsilon varepsilon _{r}V[{ar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}={frac {ne^{4}}{4pi ^{2}hbar varepsilon varepsilon _{r}}}int int int dkd heta dphi {frac {k^{2}sin heta ;delta (E_{ar {k}}-E_{{ar {k}}'})}{[{ar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}};;(10)}$
где n - объемная плотность дефектов. Выполнение интегрирования с использованием | k | = | k '| дает
${displaystyle {frac {1}{ au }}={frac {ne^{4}}{2pi {sqrt {2m^{*}(E_{c}-E_{db})}}hbar ^{2}varepsilon varepsilon _{r}}}left({frac {1}{q_{s}^{2}}}-{frac {1}{q_{s}^{2}+{frac {8m^{*}(E_{c}-E_{db})}{hbar ^{2}}}}}ight);;(11)}$.
Вышеупомянутая обработка не работает, когда дефекты не являются периодическими, поскольку потенциалы оборванных связей представлены рядом Фурье. Упростить сумму в n раз в уравнении (10) было возможно только из-за низкой плотности дефектов. Если бы у каждого атома (или, возможно, у каждого другого) была бы одна оборванная связь, что вполне разумно для невосстановленной поверхности, интеграл по k 'также должен быть выполнен. Из-за использования теории возмущений при определении матрицы взаимодействия вышеизложенное предполагает малые значения H 'или неглубокие дефектные состояния вблизи краев зон. К счастью, само по себе золотое правило Ферми является довольно общим и может быть использовано для глубинных дефектов, если взаимодействие между электроном проводимости и дефектом изучено достаточно хорошо, чтобы смоделировать их взаимодействие в виде оператора, заменяющего H '.

Экспериментальные измерения

Рис. 3: (вверху) Простая развертка напряжения исток-сток с увеличением плотности дефектов может использоваться для определения скорости рассеяния носителей и энергии оборванных связей (красная кривая с большим количеством дефектов). (Внизу) Температурная зависимость удельного сопротивления. Вблизи абсолютного нуля выявляется вес дефектов по рассеянию носителей.

Определение степени, в которой эти оборванные связи влияют на электрический транспорт, довольно легко экспериментально наблюдать. Путем изменения напряжения на проводнике (рис. 3), сопротивления и определенной геометрии можно определить проводимость образца. Как упоминалось ранее, σ = ne²τ / m *, где τ можно определить, зная n и m *, исходя из положения уровня Ферми и зонной структуры материала. К сожалению, это значение содержит эффекты от других механизмов рассеяния, например, за счет фононов. Это становится полезным, когда измерение используется вместе с уравнением (11), где наклон графика зависимости 1 / τ от n делает E_c-E_db вычислимы, а точка пересечения определяет 1 / τ от всех процессов рассеяния, кроме дефектов. Это требует предположения, что рассеяние фононов (среди других, возможно, незначительных процессов) не зависит от концентрации дефектов.
В аналогичном эксперименте можно просто понизить температуру проводника (рис. 3) так, чтобы плотность фононов уменьшилась до незначительной, допуская преобладание сопротивления дефекта. В этом случае σ = ne²τ / m * можно использовать для прямого расчета τ для рассеяния на дефектах.

Пассивация

Рисунок 4: Пассивация водородом полевого транзистора Si металл-оксид-полупроводник (MOSFET) для восстановления Si / SiO.₂ состояния интерфейса. Водородные связи с Si полностью удовлетворяют sp³ гибридизация, обеспечивающая заселенность дефектного состояния, предотвращающая рассеяние носителей в эти состояния.

Поверхностные дефекты всегда можно «пассивировать» атомами, чтобы целенаправленно занимать соответствующие уровни энергии, чтобы электроны проводимости не могли рассеяться в эти состояния (эффективно уменьшая n в уравнении (10)). Например, пассивация Si на границе канал / оксид МОП-транзистор с водородом (рис. 4) - типичная процедура, помогающая уменьшить ~ 10¹⁰ см⁻² плотность дефектов до 12 раз^[4] тем самым улучшая мобильность и, следовательно, скорость переключения. Удаление промежуточных состояний, которые в противном случае уменьшили бы туннельные барьеры, также снижает ток утечки затвора и увеличивает емкость затвора, а также переходную характеристику. Эффект состоит в том, что Si sp³ склеивание становится полностью довольным. Очевидным требованием здесь является способность полупроводника окислять пассивирующий атом или, E_c-E_db + χ> E_я, с полупроводником электронное сродство χ и атом энергия ионизации E_я.

Фононное рассеяние

Теперь рассмотрим рассеяние носителей заряда с деформациями решетки, называемыми фононы. Рассмотрим объемное смещение, которое производит такая распространяющаяся волна, ${displaystyle Delta V_{0}}$, что, следовательно, приводит к деформации, зависящей от времени, ${displaystyle Delta V_{0}/V_{0}=igtriangledown u(r,t)}$ где простая плоская волна используется для описания распространения фононов, ${displaystyle u(r,t)propto exppm (iqr-iomega t)}$. Смещение атомов от их положений равновесия обычно вызывает изменение электронная зонная структура (Рисунок 5), где для рассеяния мы имеем дело с электронами в зоне проводимости с энергией ~ E_CB,
${displaystyle Delta E_{CB}={frac {mathrm {d} E_{CB}}{mathrm {d} V_{0}}}Delta V_{0}=V_{0}{frac {mathrm {d} E_{CB}}{mathrm {d} V_{0}}}{frac {Delta V_{0}}{V_{0}}}=Z_{DP}cdot igtriangledown u(r,t);;(12)}$.
Эмпирический параметр Z_DP, называется деформационным потенциалом и описывает силу электрон-фононной связи. Умножая на населенность фононов (Распределение Бозе – Эйнштейна, N_q) дает полный потенциал деформации,
${displaystyle Delta E_{CB}^{Tot}={widehat {H}}_{int}=Z_{DP}cdot igtriangledown u(r,t){sqrt {N_{q}+{frac {1}{2}}pm {frac {1}{2}}}}=pm iqZ_{DP}u(r,t){sqrt {N_{q}+{frac {1}{2}}pm {frac {1}{2}}}};;(13)}$

Рисунок 5: Схема изменения краев энергетической зоны (зона проводимости, E _CB, а валентная зона E _VB), поскольку атомные позиции кристалла смещаются от равновесия для создания объемной деформации.

(причина рута будет видна ниже). Здесь + соответствует излучению фононов, а - поглощению фононов во время рассеяния. Примечание, потому что ${displaystyle qperp u(r,t)}$ для поперечных фононов отличны от нуля только взаимодействия с продольными фононами. Следовательно, полная матрица взаимодействия имеет вид
${displaystyle <k'|{widehat {H}}_{int}|k>=pm iqZ_{DP}u(r,t){sqrt {N_{q}+{frac {1}{2}}pm {frac {1}{2}}}}delta _{k',kpm q};;(14)}$
где Дельта Кронекера обеспечивает сохранение импульса и возникает из предположения электронных волновых функций (конечное состояние, ${displaystyle <k'|}$, и начальное состояние, ${displaystyle |k>}$) также являются плоскими волнами.

Акустические фононы

Используя золотое правило Ферми, можно приблизительно оценить скорость рассеяния акустических фононов низкой энергии. Матрица взаимодействия этих фононов равна
${displaystyle |<k'|{widehat {H}}_{int}|k>|^{2}=Z_{DP}^{2}{frac {hbar omega _{q}}{2Vho c^{2}}}(N_{q}+{frac {1}{2}}pm {frac {1}{2}})delta _{k',kpm q};;(15)}$
с радиальной частотой фононов ω_q= cq, объем V, плотность твердого тела ρ и групповая скорость фононов c.^[5] Вставляя это в уравнение. 6 дает
${displaystyle S_{k'k}^{Ac}={frac {2pi }{hbar }}Z_{DP}^{2}{frac {hbar omega _{q}}{2Vho c^{2}}}(N_{q}+{frac {1}{2}}pm {frac {1}{2}})delta _{k',kpm q}delta [E(k')-E(k)pm hbar omega _{q}];;(16)}$.
В предположении, что N_q>> 1, ω << kT и g (E ') ~ g (E) (что обычно справедливо для трехмерных кристаллов, поскольку энергии электронов проводимости обычно намного больше, чем ω, а g (E) не имеет никакого сингулярность Ван Хова ) дает скорость рассеяния:
${displaystyle {frac {1}{ au }}=sum _{k'}S_{k'k}^{Ac}=sum _{k}S_{kpm q,k}^{Ac}}$
${displaystyle ={frac {2pi }{hbar }}Z_{DP}^{2}{frac {hbar omega _{q}}{2Vho c^{2}}}({frac {kT}{hbar omega _{q}}})sum _{k}delta _{k',kpm q}delta [E(k')-E(k)pm hbar omega _{q}]}$
${displaystyle ={frac {2pi }{hbar }}Z_{DP}^{2}{frac {kT}{2Vho c^{2}}}V imes g(E)}$
${displaystyle ={frac {sqrt {2}}{pi }}{frac {Z_{DP}^{2}m^{*{frac {3}{2}}}kT}{ho hbar ^{4}c^{2}}}{sqrt {E-E_{CB}}};;(17)}$
где g (E) - электронная плотность состояний для которого было использовано трехмерное решение с параболической дисперсией для получения окончательного ответа.

Оптические фононы

Обычно фононы в оптических ветвях колебательно-дисперсионных соотношений имеют энергии порядка или больше kT, поэтому приближения ħω << kT и N_q>> 1 сделать нельзя. Тем не менее, разумным путем, который все еще позволяет избежать сложных фононных дисперсий, является использование Модель Эйнштейна который утверждает, что в твердых телах существует только одна фононная мода. Для оптических фононов этого приближения оказывается достаточно из-за очень небольшого изменения наклона ω (q), и, таким образом, мы можем утверждать, что ħω (q) ≅ ħω, постоянная. Следовательно, N_q также является константой (зависит только от T). Последнее приближение, g (E ') = g (E ± ω) ~ g (E), не может быть выполнено, поскольку ħω ~ E и для него нет обходного пути, но добавленная сложность к сумме для τ минимальна.
${displaystyle {frac {1}{ au }}=sum _{k'}S_{k'k}^{Op}={frac {2pi }{hbar }}Z_{DP}^{2}{frac {hbar omega }{2Vho c^{2}}}(N_{q}+{frac {1}{2}}pm {frac {1}{2}})sum _{k'}delta _{k',kpm q}delta [E(k')-E(k)pm hbar omega ]}$
${displaystyle =Z_{DP}^{2}{frac {hbar omega }{8pi ^{2}hbar ho c^{2}}}(N_{q}+{frac {1}{2}}pm {frac {1}{2}})g(Epm hbar omega );;(18)}$.
Сумма превращается в плотность состояний в E 'и Распределение Бозе – Эйнштейна можно вычесть из суммы в силу того, что ħω (q) ≅ ħω.

Примечания

1. Харрисон, Уолтер А., Электронная структура и свойства твердых тел: физика химической связи. Сан-Франциско: Фриман, 1980.
2. Рокетт, Ангус, Материаловедение полупроводников. Нью-Йорк: Springer, 2007.
3. Гесс, Карл, Продвинутая теория полупроводниковых приборов. Нью-Йорк: Wiley Interscience, 2000.
4. Faughnan, B .; Ипри, А. С. IEEE Trans. Elec. Dev. 36, 101, 1999.
5. Конвелл, Э. М., "Высокополевой перенос в полупроводниках", в физике твердого тела, под ред. Ф. Зейтц, Д. Тернбулл и Х. Эренрайх, Приложение 9. Нью-Йорк: Academic Press, 1967, с. 108.