Уравнение Карлемана - Carlemans equation

В математика, Уравнение Карлемана это Интегральное уравнение Фредгольма первого типа с логарифмическое ядро. Его решение было впервые дано Торстен Карлеман в 1922 г. уравнение

{ Displaystyle int _ {a} ^ {b} ln | x-t | , y (t) , dt = f (x)}

Решение для б − а ≠ 4 это

{ displaystyle y (x) = { frac {1} { pi ^ {2} { sqrt {(xa) (bx)}}}} left [ int _ {a} ^ {b} { frac {{ sqrt {(ta) (bt)}} f '_ {t} (t) , dt} {tx}} + { frac {1} { ln left [{ frac {1}] {4}} (ba) right]}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (t) , dt} { sqrt {(ta) (bt)}}} right] }

Если б − а = 4, то уравнение разрешимо только при выполнении следующего условия

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac {f (t) , dt} { sqrt {(t-a) (b-t)}}} = 0}

В этом случае решение имеет вид

{ displaystyle y (x) = { frac {1} { pi ^ {2} { sqrt {(xa) (bx)}}}} left [ int _ {a} ^ {b} { frac {{ sqrt {(ta) (bt)}} f '_ {t} (t) , dt} {tx}} + C right]}

куда C - произвольная постоянная.

Для особого случая ж(т) = 1 (в этом случае необходимо иметь б − а ≠ 4), полезные в некоторых приложениях, получаем

{ displaystyle y (x) = { frac {1} { pi ln left [{ frac {1} {4}} (ba) right]}} { frac {1} { sqrt { (xa) (bx)}}}}

Рекомендации