Теорема Каратеодори – Якоби – Ли. - Carathéodory–Jacobi–Lie theorem

В Каратеодори –Якоби –Ложь теорема это теорема в симплектическая геометрия который обобщает Теорема Дарбу.

Заявление

Позволять M быть 2п-размерный симплектическое многообразие с симплектической формой ω. За п ∈ M и р ≤ п, позволять ж₁, ж₂, ..., ж_р быть гладкие функции определено на открытый район V из п чей дифференциалы находятся линейно независимый в каждой точке или эквивалентно

${\displaystyle df_{1}(p)\wedge \ldots \wedge df_{r}(p)\neq 0,}$

где {f_я, f_j} = 0. (Другими словами, они попарно находятся в инволюции.) Здесь {-, -} - Скобка Пуассона. Тогда есть функции ж_{г + 1}, ..., ж_п, грамм₁, грамм₂, ..., грамм_п определено на открытой окрестности U ⊂ V из п такой, что (f_я, грамм_я) это симплектическая диаграмма из M, т.е. ω выражается на U в качестве

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}df_{i}\wedge dg_{i}.}$

Приложения

В качестве прямого приложения мы имеем следующее. Учитывая Гамильтонова система в качестве ${\displaystyle (M,\omega ,H)}$ куда M является симплектическим многообразием симплектической формы ${\displaystyle \omega }$ и ЧАС это Гамильтонова функция, вокруг каждой точки, где ${\displaystyle dH\neq 0}$ существует симплектическая карта, одна из координат которой ЧАС.

Рекомендации

• Ли, Джон М., Введение в гладкие многообразия, Springer-Verlag, Нью-Йорк (2003) ISBN  0-387-95495-3. Учебник для выпускников по гладким многообразиям.