Теорема Брауэрса о формах - Brauers theorem on forms

Также есть Теорема Брауэра об индуцированных характерах.

В математика, Теорема Брауэра, названный в честь Ричард Брауэр, является результатом представимости 0 формами над некоторыми поля в достаточно большом количестве переменных.^[1]

Утверждение теоремы Брауэра

Позволять K быть таким полем, что для каждого целого числа р > 0 существует целое число ψ (р) такой, что для п ≥ ψ (r) каждое уравнение

${\displaystyle (*)\qquad a_{1}x_{1}^{r}+\cdots +a_{n}x_{n}^{r}=0,\quad a_{i}\in K,\quad i=1,\ldots ,n}$

имеет нетривиальный (т.е. не все Икс_я равны 0) решение в KТогда для однородных многочленов ж₁,...,ж_k степеней р₁,...,р_k соответственно с коэффициентами в K, для каждого набора натуральных чисел р₁,...,р_k и каждое неотрицательное целое число лсуществует число ω (р₁,...,р_k,л) такой, что для п ≥ ω (р₁,...,р_k,л) существует л-размерный аффинное подпространство M из K^п (рассматривается как векторное пространство над K) удовлетворение

${\displaystyle f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\cdots =f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\quad \forall (x_{1},\ldots ,x_{n})\in M.}$

Приложение к области p-адических чисел

Сдача K быть полем p-адические числа в теореме выполняется уравнение (*), так как ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{*}/\left(\mathbb {Q} _{p}^{*}\right)^{b}}$, б натуральное число, конечно. Выбор k = 1, получаем следующее следствие.

Однородное уравнение ж(Икс₁,...,Икс_п) = 0 степени р в области p-адических чисел имеет нетривиальное решение, если п достаточно большой.

Можно показать, что если п достаточно велико согласно приведенному выше следствию, то п больше, чем р². В самом деле, Эмиль Артин предполагаемый^[2] что всякий однородный многочлен степени р над Q_п в более чем р² переменные представляют 0. Это, очевидно, верно для р = 1, и хорошо известно, что гипотеза верна для р = 2 (см., Например, Ж.-П. Серр, Курс арифметики, Гл. IV, теорема 6). Видеть квазиалгебраическое замыкание для дальнейшего контекста.

В 1950 году Демьянов^[3] проверил гипотезу для р = 3 и п № 3, а в 1952 г. Д. Дж. Льюис^[4] независимо доказал случай р = 3 для всех простых чиселп. Но в 1966 году Гай Терджанян построил однородный многочлен степени 4 над Q₂ в 18 переменных, у которого нет нетривиального нуля.^[5] С другой стороны, Теорема Акс-Кохена показывает, что для любой фиксированной степени гипотеза Артина верна для всех, кроме конечного числа Q_п.

Примечания

• Давенпорт, Гарольд (2005). Аналитические методы для диофантовых уравнений и диофантовых неравенств. Кембриджская математическая библиотека. Отредактировано и подготовлено Т. Д. Браунингом. С предисловием Р. К. Воана, Д. Р. Хита-Брауна и Д. Э. Фримена (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-60583-0. Zbl  1125.11018.

Рекомендации

1. Р. Брауэр, Замечание о системах однородных алгебраических уравнений, Бюллетень Американского математического общества, 51, страницы 749-755 (1945)
2. Сборник статей Эмиля Артина, страница x, Addison – Wesley, Reading, Mass., 1965
3. Демьянов, В. Б. (1950). "На кубических форм дискретных линейных нормированных полей" [О кубических формах над дискретными нормированными полями]. Доклады Академии Наук СССР. 74: 889–891.
4. Д. Дж. Льюис, Кубические однородные многочлены над полями p-адических чисел, Анналы математики, 56, страницы 473–478, (1952)
5. Гай Терджанян, Un contre-instance à une conjecture d'Artin, C.R. Acad. Sci. Paris Sér. A – B, 262, A612, (1966)