Теорема Брахмагупты - Brahmagupta theorem

В геометрия, Теорема Брахмагупты заявляет, что если циклический четырехугольник является ортодиагональный (то есть имеет перпендикуляр диагонали ), то перпендикуляр к стороне от точки пересечения диагоналей всегда делит пополам противоположная сторона.[1] Он назван в честь Индийский математик Брахмагупта (598-668).[2]

В частности, пусть А, B, C и D - четыре точки на окружности, такие что прямые AC и BD перпендикулярны. Обозначим пересечение AC и BD к M. Опустите перпендикуляр из M к линии до н.э, называя перекресток E. Позволять F быть пересечением линии ЭМ и край ОБЪЯВЛЕНИЕ. Тогда теорема утверждает, что F это середина ОБЪЯВЛЕНИЕ.

Доказательство

Доказательство теоремы.

Нам нужно доказать, что AF = FD. Мы докажем, что оба AF и FD фактически равны FM.

Чтобы доказать, что AF = FM, сначала обратите внимание, что углы FAM и CBM равны, потому что они вписанные углы которые пересекают ту же дугу круга. Кроме того, углы CBM и CME оба дополнительный под углом BCM (то есть они в сумме составляют 90 °) и, следовательно, равны. Наконец, углы CME и FMA одинаковые. Следовательно, AFM является равнобедренный треугольник, и, таким образом, стороны AF и FM равны.

Доказательство того, что FD = FM аналогично: углы FDM, BCM, BME и DMF все равны, поэтому DFM равнобедренный треугольник, поэтому FD = FM. Следует, что AF = FD, как утверждает теорема.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Майкл Джон Брэдли (2006). Рождение математики: древние времена до 1300 г.. Издательская информационная база. ISBN  0816054231. Стр.70, 85.
  2. ^ Кокстер, Х. С. М.; Грейцер, С. Л .: Возвращение к геометрии. Вашингтон, округ Колумбия: Математика. Доц. Амер., С. 59, 1967 г.

внешняя ссылка