Борелевская иерархия - Borel hierarchy

В математическая логика, то Борелевская иерархия представляет собой расслоение Борелевская алгебра порожденные открытыми подмножествами Польское пространство; элементы этой алгебры называются Наборы Бореля. Каждому набору Бореля присваивается уникальный счетный порядковый номер называется классифицировать множества Бореля. Иерархия Бореля представляет особый интерес в описательная теория множеств.

Одним из распространенных способов использования иерархии Бореля является доказательство фактов о множествах Бореля с использованием трансфинитная индукция по званию. Свойства множеств малых конечных рангов важны в теория меры и анализ.

Наборы Бореля

Основная статья: Набор Бореля

В Борелевская алгебра в произвольном топологическое пространство - наименьший набор подмножеств пространства, содержащего открытые множества и замкнутого относительно счетных объединений, и дополнение. Можно показать, что алгебра Бореля замкнута и относительно счетных пересечений.

Краткое доказательство того, что алгебра Бореля корректно определена, состоит в том, чтобы показать, что все степенное множество пространства замкнуто относительно дополнений и счетных объединений, и, таким образом, алгебра Бореля является пересечением всех семейств подмножеств пространства, которые обладают этими свойствами замыкания. Это доказательство не дает простой процедуры определения того, является ли множество борелевским. Мотивация для иерархии Бореля состоит в том, чтобы дать более явную характеристику множеств Бореля.

Жирный шрифт Борелевская иерархия

В Борелевская иерархия или же жирный шрифт Борелевская иерархия на пространстве Икс состоит из классов ${displaystyle mathbf {Sigma } _{alpha }^{0}}$, ${displaystyle mathbf {Pi } _{alpha }^{0}}$, и ${displaystyle mathbf {Delta } _{alpha }^{0}}$ для каждого счетного порядкового номера ${displaystyle alpha }$ больше нуля. Каждый из этих классов состоит из подмножеств Икс. Классы определяются индуктивно по следующим правилам:

• Набор находится в ${displaystyle mathbf {Sigma } _{1}^{0}}$ тогда и только тогда, когда он открыт.
• Набор находится в ${displaystyle mathbf {Pi } _{alpha }^{0}}$ тогда и только тогда, когда его дополнение находится в ${displaystyle mathbf {Sigma } _{alpha }^{0}}$.
• Множество ${displaystyle A}$ в ${displaystyle mathbf {Sigma } _{alpha }^{0}}$ за ${displaystyle alpha >1}$ тогда и только тогда, когда существует последовательность множеств ${displaystyle A_{1},A_{2},ldots }$ так что каждый ${displaystyle A_{i}}$ в ${displaystyle mathbf {Pi } _{alpha _{i}}^{0}}$ для некоторых ${displaystyle alpha _{i}<alpha }$ и ${displaystyle A=igcup A_{i}}$.
• Набор находится в ${displaystyle mathbf {Delta } _{alpha }^{0}}$ тогда и только тогда, когда они оба в ${displaystyle mathbf {Sigma } _{alpha }^{0}}$ И в ${displaystyle mathbf {Pi } _{alpha }^{0}}$.

Мотивация для иерархии состоит в том, чтобы следовать тому способу, которым множество Бореля может быть построено из открытых множеств с использованием дополнения и счетных объединений. Говорят, что множество Бореля имеет конечный ранг если это в ${displaystyle mathbf {Sigma } _{alpha }^{0}}$ для некоторого конечного ординала ${displaystyle alpha }$; в противном случае это имеет бесконечный ранг.

Если ${displaystyle mathbf {Sigma } _{1}^{0}subseteq mathbf {Sigma } _{2}^{0}}$ тогда можно показать, что иерархия имеет следующие свойства:

• Для каждого α, ${displaystyle mathbf {Sigma } _{alpha }^{0}cup mathbf {Pi } _{alpha }^{0}subseteq mathbf {Delta } _{alpha +1}^{0}}$. Таким образом, когда набор находится в ${displaystyle mathbf {Sigma } _{alpha }^{0}}$ или же ${displaystyle mathbf {Pi } _{alpha }^{0}}$, этот набор будет во всех классах иерархии, соответствующих порядковым номерам больше, чем α
• ${displaystyle igcup _{alpha <omega _{1}}mathbf {Sigma } _{alpha }^{0}=igcup _{alpha <omega _{1}}mathbf {Pi } _{alpha }^{0}=igcup _{alpha <omega _{1}}mathbf {Delta } _{alpha }^{0}}$. Более того, множество входит в это объединение тогда и только тогда, когда оно борелевское.
• Если ${displaystyle X}$ это бесчисленное польское пространство, можно показать, что ${displaystyle mathbf {Sigma } _{alpha }^{0}}$ не содержится в ${displaystyle mathbf {Pi } _{alpha }^{0}}$ для любого ${displaystyle alpha <omega _{1}}$, и таким образом иерархия не разрушается.

Борелевские множества малого ранга

Классы малого ранга известны под альтернативными названиями в классической описательной теории множеств.

• В ${displaystyle mathbf {Sigma } _{1}^{0}}$ наборы - это открытые наборы. В ${displaystyle mathbf {Pi } _{1}^{0}}$ множества - это замкнутые множества.
• В ${displaystyle mathbf {Sigma } _{2}^{0}}$ множества являются счетными объединениями замкнутых множеств и называются F_σ наборы. В ${displaystyle mathbf {Pi } _{2}^{0}}$ множества являются двойственным классом и могут быть записаны как счетное пересечение открытых множеств. Эти наборы называются грамм_δ наборы.

Иерархия Lightface

В лайтфейс Борелевская иерархия является эффективной версией иерархии Бореля, выделенной жирным шрифтом. Это важно в эффективная дескриптивная теория множеств и теория рекурсии. Иерархия борелевского лайтфейса расширяет арифметическая иерархия подмножеств эффективное польское пространство. Это тесно связано с гиперарифметическая иерархия.

Иерархия борелевских светолиц может быть определена на любом эффективном польском пространстве. Состоит из классов ${displaystyle Sigma _{alpha }^{0}}$, ${displaystyle Pi _{alpha }^{0}}$ и ${displaystyle Delta _{alpha }^{0}}$ для каждого ненулевого счетного ординала ${displaystyle alpha }$ меньше чем Чёрч – Клини ординал ${displaystyle omega _{1}^{mathrm {CK} }}$. Каждый класс состоит из подмножеств пространства. Классы и коды для элементов классов индуктивно определяются следующим образом:

• Набор есть ${displaystyle Sigma _{1}^{0}}$ если и только если это эффективно открыть, то есть открытое множество, которое является объединением вычислимо перечислимый последовательность основных открытых наборов. Код для такого набора - пара (0, д), куда е - индекс программы, перечисляющей последовательность основных открытых множеств.
• Набор есть ${displaystyle Pi _{alpha }^{0}}$ тогда и только тогда, когда его дополнение ${displaystyle Sigma _{alpha }^{0}}$. Код для одного из этих наборов - пара (1, в) куда c код дополнительного набора.
• Набор есть ${displaystyle Sigma _{alpha }^{0}}$ если есть вычислимо перечислимый последовательность кодов для последовательности ${displaystyle A_{1},A_{2},ldots }$ наборов таких, что каждый ${displaystyle A_{i}}$ является ${displaystyle Pi _{alpha _{i}}^{0}}$ для некоторых ${displaystyle alpha _{i}<alpha }$ и ${displaystyle A=igcup A_{i}}$. Код для ${displaystyle Sigma _{alpha }^{0}}$ набор пара (2, д), куда е - индекс программы, перечисляющей коды последовательности ${displaystyle A_{i}}$.

Код для набора Lightface Borel дает полную информацию о том, как восстановить набор из наборов меньшего ранга. Это контрастирует с иерархией, выделенной жирным шрифтом, где такая эффективность не требуется. Каждое световое борелевское множество имеет бесконечно много различных кодов. Возможны другие системы кодирования; Ключевая идея состоит в том, что код должен эффективно различать эффективно открытые множества, дополнения наборов, представленных предыдущими кодами, и вычислимые перечисления последовательностей кодов.

Можно показать, что для каждого ${displaystyle alpha <omega _{1}^{mathrm {CK} }}$ есть наборы в ${displaystyle Sigma _{alpha }^{0}setminus Pi _{alpha }^{0}}$, и таким образом иерархия не разрушается. На этапе новые наборы добавляться не будут ${displaystyle omega _{1}^{mathrm {CK} }}$, тем не мение.

Известная теорема Спектора и Клини утверждает, что множество находится в иерархии Бореля со световыми гранями тогда и только тогда, когда оно находится на уровне ${displaystyle Delta _{1}^{1}}$ из аналитическая иерархия. Эти наборы также называют гиперарифметика.

Код для лайтфейса Бореля А может использоваться для индуктивного определения дерева, узлы которого помечены кодами. Корень дерева помечен кодом для А. Если узел помечен кодом вида (1, в) тогда у него есть дочерний узел, код которого c. Если узел помечен кодом вида (2, д) то у него есть один дочерний элемент для каждого кода, перечисленного программой с индексом е. Если узел помечен кодом вида (0, д) значит, у него нет детей. Это дерево описывает, как А строится из наборов меньшего ранга. Порядковые числа, использованные при построении А убедитесь, что это дерево не имеет бесконечного пути, потому что любой бесконечный путь через дерево должен включать бесконечное количество кодов, начинающихся с 2, и, таким образом, даст бесконечную убывающую последовательность порядковых номеров. И наоборот, если произвольное поддерево ${displaystyle omega ^{<omega },}$ имеет узлы, помеченные кодами согласованным образом, и дерево не имеет бесконечных путей, тогда код в корне дерева является кодом для набора Бореля со световым лицом. Ранг этого множества ограничен порядковым типом дерева в Заказ Клини – Брауэра. Поскольку дерево арифметически определимо, этот ранг должен быть меньше, чем ${displaystyle omega _{1}^{mathrm {CK} }}$. Это источник ординала Черча – Клини в определении иерархии светолиц.

Отношение к другим иерархиям

Lightface		Жирный шрифт
Σ^0 0 = Π^0 0 = Δ^0 0 (иногда то же самое, что Δ^0 1)		Σ^0 0 = Π^0 0 = Δ^0 0 (если определено)
Δ^0 1 = рекурсивный		Δ^0 1 = прищемить
Σ^0 1 = рекурсивно перечислимый	Π^0 1 = ко-рекурсивно перечислимый	Σ^0 1 = грамм = открыто	Π^0 1 = F = закрыто
Δ^0 2		Δ^0 2
Σ^0 2	Π^0 2	Σ^0 2 = Fσ	Π^0 2 = граммδ
Δ^0 3		Δ^0 3
Σ^0 3	Π^0 3	Σ^0 3 = граммδσ	Π^0 3 = Fσδ
⋮		⋮
Σ^0 <ω = Π^0 <ω = Δ^0 <ω = Σ^1 0 = Π^1 0 = Δ^1 0 = арифметический		Σ^0 <ω = Π^0 <ω = Δ^0 <ω = Σ^1 0 = Π^1 0 = Δ^1 0 = жирный арифметический
⋮		⋮
Δ^0 α (α рекурсивный )		Δ^0 α (α счетный )
Σ^0 α	Π^0 α	Σ^0 α	Π^0 α
⋮		⋮
Σ^0 ω^СК 1 = Π^0 ω^СК 1 = Δ^0 ω^СК 1 = Δ^1 1 = гиперарифметический		Σ^0 ω1 = Π^0 ω1 = Δ^0 ω1 = Δ^1 1 = B = Борель
Σ^1 1 = лайтфейс аналитический	Π^1 1 = световой коаналитический	Σ^1 1 = А = аналитический	Π^1 1 = CA = коаналитический
Δ^1 2		Δ^1 2
Σ^1 2	Π^1 2	Σ^1 2 = PCA	Π^1 2 = CPCA
Δ^1 3		Δ^1 3
Σ^1 3	Π^1 3	Σ^1 3 = PCPCA	Π^1 3 = CPCPCA
⋮		⋮
Σ^1 <ω = Π^1 <ω = Δ^1 <ω = Σ^2 0 = Π^2 0 = Δ^2 0 = аналитический		Σ^1 <ω = Π^1 <ω = Δ^1 <ω = Σ^2 0 = Π^2 0 = Δ^2 0 = п = проективный
⋮		⋮

Рекомендации

• Кечрис, Александр. Классическая описательная теория множеств. Тексты для выпускников по математике v. 156, Springer-Verlag, 1995. ISBN  3-540-94374-9.
• Jech, Thomas. Теория множеств, 3-е изд. Спрингер, 2003. ISBN  3-540-44085-2.

Смотрите также

• Иерархия Wadge
• Иерархия Веблена