Теорема Бони – Брезиса - Bony–Brezis theorem

В математика, то Теорема Бони – Брезиса, благодаря французским математикам Жан-Мишель Бони и Хаим Брезис, дает необходимо и достаточно условия для замкнутого подмножества многообразие быть инвариантным относительно поток определяется векторное поле, а именно в каждой точке замкнутого множества векторное поле должно иметь неположительный внутренний продукт с любым вектор внешней нормали к набору. Вектор - это внешний нормальный в точке замкнутого множества, если существует вещественнозначная непрерывно дифференцируемая функция, локально максимизированная в точке с этим вектором в качестве производной в этой точке. Если замкнутое подмножество является гладким подмногообразием с краем, условие гласит, что векторное поле не должно выходить за пределы подмножества в граничные точки. Обобщение на негладкие подмножества важно в теории уравнения в частных производных.

Теорема была открыта ранее Митио Нагумо в 1942 году и также известен как Теорема нагумо.^[1]

Заявление

Позволять F быть замкнутым подмножеством C² многообразие M и разреши Икс быть векторное поле на M который Липшицева непрерывная. Следующие условия эквивалентны:

• Любой интегральная кривая из Икс начиная с F остается в F.
• (Икс(м),v) ≤ 0 для любого вектора внешней нормали v в какой-то момент м в F.

Доказательство

Следующий Хёрмандер (1983), чтобы доказать, что из первого условия следует второе, пусть c(т) - интегральная кривая сc(0) = Икс в F и dc / dt= Икс(c). Позволять грамм иметь локальный максимум на F в Икс. потом грамм(c(т)) ≤ грамм (c(0)) для т маленький и позитивный. Дифференцируя, это означает, что грамм '(Икс)⋅Икс(Икс) ≤ 0.

Чтобы доказать обратную импликацию, поскольку результат локален, достаточно проверить его в р^п. В таком случае Икс локально удовлетворяет условию Липшица

${\displaystyle \displaystyle {|X(a)-X(b)|\leq C|a-b|.}}$

Если F замкнута, функция расстояния D(Икс) = d(Икс,F)² обладает следующим свойством дифференцируемости:

${\displaystyle \displaystyle {D(x+h)=D(x)+\min _{z}2h\cdot (x-z)+o(|h|),}}$

где минимум берется по ближайшим точкам z к Икс в F.

Чтобы это проверить, пусть

${\displaystyle \displaystyle {f_{\varepsilon }(h)=\min _{z}2h\cdot (x-z),}}$

где минимум берется за z в F такой, что d(Икс,z) ≤ d(Икс,F) + ε.

С ж_ε однороден в час и равномерно увеличивается до ж₀ на любой сфере,

${\displaystyle \displaystyle {f_{0}(h)\geq f_{\varepsilon }(h)\geq f_{0}(h)-C(\varepsilon )|h|,}}$

с постоянным C(ε) стремится к 0, когда ε стремится к 0.

Это свойство дифференцируемости следует из этого, поскольку

${\displaystyle \displaystyle {D(x+h)\leq |x+h-z|^{2}\leq |z-x|^{2}+2h\cdot (x-z)+|h|^{2}=D(x)+f_{0}(h)+|h|^{2}}}$

и аналогично, если |час| ≤ ε

${\displaystyle \displaystyle {D(x+h)\geq D(x)+f_{\varepsilon }(h)+|h|^{2}.}}$

Из свойства дифференцируемости следует, что

${\displaystyle \displaystyle {\lim {\delta \downarrow 0}{D(c(t+\delta ))-D(c(t)) \over \delta }=2\min _{z}X(c(t))\cdot (c(t)-z),}}$

минимизирован по ближайшим точкам z к c(т). Для любого такого z

${\displaystyle \displaystyle {2X(c(t))\cdot (c(t)-z)=2X(z)\cdot (c(t)-z)-2(X(z)-X(c(t)))\cdot (c(t)-z).}}$

Поскольку - |у − c(т)|² имеет локальный максимум на F в у = z, c(т) − z вектор внешней нормали в точке z. Итак, первый член в правой части неотрицателен. Условие Липшица для Икс следует, что второй член ограничен сверху числом 2C⋅D(c(т)). Таким образом производная справа из

${\displaystyle \displaystyle {e^{-2Ct}D(c(t))}}$

неположительна, поэтому это невозрастающая функция от т. Таким образом, если c(0) лежит в F, D(c(0)) = 0 и, следовательно, D(c(т)) = 0 для т > 0, т.е. c(т) лежит в F за т > 0.

Рекомендации

1. Бланкини, Франко (1999), "Обзорный доклад: множественная инвариантность в управлении", Automatica, 35 (11): 1747–1767, Дои:10.1016 / S0005-1098 (99) 00113-2

Литература

• Нагумо, Митио (1942), "Über die lage der integrationkurven gewöhnlicher Differencegleichungen", Nippon Sugaku-Buturigakkwai Kizi Dai 3 Ki, 24: 551–559 (на немецком)
• Йорк, Джеймс А. (1967), "Инвариантность для обыкновенных дифференциальных уравнений", Теория вычислений, 1 (4): 353–372, Дои:10.1007 / BF01695169
• Бони, Жан-Мишель (1969), "Principe du Maximum, inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour les opérateurs elliptiques dégénerés" (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 19: 277–304, Дои:10.5802 / aif.319 (На французском)
• Брезис, Хаим (1970), «О характеризации потоков, инвариантных множеств», Comm. Pure Appl. Математика., 223 (2): 261–263, Дои:10.1002 / cpa.3160230211
• Редхеффер, Р.М. (1972), "Теоремы Бони и Брезиса о множествах, инвариантных к потоку", Американский математический ежемесячник, 79 (7): 740–747, Дои:10.2307/2316263, JSTOR  2316263
• Крэндалл, Майкл Г. (1972), "Обобщение теоремы существования Пеано и инвариантности потока", Труды Американского математического общества, 36 (1): 151–155, Дои:10.1090 / S0002-9939-1972-0306586-2
• Фолькманн, Питер (1974), "Über die positive Invarianz einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachschen Raumes bezüglich der Differentialgleichung u '= f (t, u)", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1976 (285): 59–65, Дои:10.1515 / crll.1976.285.59 (на немецком)
• Хёрмандер, Ларс (1983), Анализ дифференциальных операторов с частными производными I, Springer-Verlag, стр. 300–305, ISBN  3-540-12104-8, Теорема 8.5.11
• Бланкини, Франко (1999), "Обзорный доклад: множественная инвариантность в управлении", Automatica, 35 (11): 1747–1767, Дои:10.1016 / S0005-1098 (99) 00113-2
• Вальтер, Вольфганг (1998). Обыкновенные дифференциальные уравнения.. Springer. ISBN  978-0387984599.