Гипотеза Блаттнера - Blattners conjecture

В математика, Гипотеза Блаттнера или же Формула Блаттнера это описание представления дискретной серии генерала полупростая группа грамм с точки зрения их ограниченные представления к максимальная компактная подгруппа K (их так называемые K-типы). Он назван в честь Роберт Джеймс Блаттнер, несмотря на то, что он не сформулировал его как гипотезу.

Заявление

Формула Блаттнера говорит, что если представление дискретной серии с инфинитезимальным характером λ ограничено максимальной компактной подгруппой K, то представление K со старшим весом μ встречается с кратностью

${\displaystyle \sum _{w\in W_{K}}\epsilon (\omega )Q(w(\mu +\rho _{c})-\lambda -\rho _{n})}$

куда

Q - количество способов, которыми вектор может быть записан как сумма некомпактных положительных корней

W_K группа Вейля K

ρ_c составляет половину суммы компактных корней

ρ_п составляет половину суммы некомпактных корней

ε - знаковый характер W_K.

Формула Блаттнера - это то, что можно получить, формально ограничив Формула характера Хариш-Чандры для представления дискретной серией максимального тора максимальной компактной группы. Проблема при доказательстве формулы Блаттнера состоит в том, что она дает характер только на регулярных элементах максимального тора, а также необходимо контролировать его поведение на особых элементах. Для недискретных неприводимых представлений формальное ограничение формулы характера Хариш-Чандры не обязательно должно давать разложение по максимальной компактной подгруппе: например, для представлений основной серии группы SL₂ характер тождественно равен нулю на неособых элементах максимальной компактной подгруппы, но представление не равно нулю на этой подгруппе. В этом случае характер - это распределение на максимальной компактной подгруппе с носителем на сингулярных элементах.

История

Хариш-Чандра устно приписал эту гипотезу Роберт Джеймс Блаттнер как вопрос, поставленный Блаттнером, а не предположение, сделанное Блаттнером. Блаттнер не публиковал его ни в каком виде. Впервые он появился в печати в Шмид (1968, теорема 2), где она впервые была названа «гипотезой Блаттнера», несмотря на то, что результаты этой статьи были получены без знания вопроса Блаттнера и несмотря на то, что Блаттнер не высказал такой гипотезы. Окамото и Озэки (1967) об особом случае упоминал чуть ранее.

Шмид (1972) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFSchmid1972 (помощь) доказал формулу Блаттнера в некоторых частных случаях.Шмид (1975a) показал, что формула Блаттнера дает оценку сверху кратности K-представительства, Шмид (1975b) доказал гипотезу Блаттнера для групп, симметрическое пространство которых эрмитово, и Хехт и Шмид (1975) доказал гипотезу Блаттнера для линейных полупростых групп. Гипотеза (формула) Блаттнера была также доказана Энрайт (1979) методами бесконечно малых величин, которые были совершенно новыми и полностью отличными от методов Хехта и Шмида (1975). Часть импульса к статье Энрайта (1979) пришла из нескольких источников: Энрайт и Варадараджан (1975) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFEnright_and_Varadarajan1975 (помощь), Уоллах (1976), Энрайт и Уоллах (1978) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFEnright_and_Wallach1978 (помощь). В Enright (1979) формулы кратности приведены также для так называемых псевдодискретных представлений серий. Энрайт (1978) использовал его идеи для получения результатов по построению и классификации неприводимых Модули Хариш-Чандры любой вещественной полупростой алгебры Ли.

Рекомендации

• Энрайт, Томас Дж; Варадараджан, В. С. (1975), "Об бесконечно малой характеризации дискретного ряда", Анналы математики, 102 (1): 1–15., Дои:10.2307/1970970, МИСТЕР  0476921
• Энрайт, Томас Дж; Валлах, Нолан Р. (1978), "Фундаментальная серия представлений вещественной полупростой алгебры Ли", Acta Mathematica, 140 (1–2): 1–32, Дои:10.1007 / bf02392301, МИСТЕР  0476814
• Энрайт, Томас Дж (1978), "Об алгебраической конструкции и классификации модулей Хариш-Чандры", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 75 (3): 1063–1065, Дои:10.1073 / pnas.75.3.1063, МИСТЕР  0480871, ЧВК  411407, PMID  16592507
• Энрайт, Томас Дж. (1979), "О фундаментальных сериях вещественной полупростой алгебры Ли: их неприводимость, разрешения и формулы кратности", Анналы математики, 110 (1): 1–82, Дои:10.2307/1971244, МИСТЕР  0541329
• Хехт, Хенрик; Шмид, Вильфрид (1975), "Доказательство гипотезы Блаттнера", Inventiones Mathematicae, 31 (2): 129–154, Дои:10.1007 / BF01404112, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0396855
• Окамото, Киёсато; Озэки, Хидеки (1967), "О квадратично интегрируемых ∂-когомологии, присоединенные к эрмитовым симметрическим пространствам », Осакский математический журнал, 4: 95–110, ISSN  0030-6126, МИСТЕР  0229260
• Шмид, Вильфрид (1968), "Однородные комплексные многообразия и представления полупростых групп Ли", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 59: 56–59, Дои:10.1073 / pnas.59.1.56, ISSN  0027-8424, JSTOR  58599, МИСТЕР  0225930, ЧВК  286000, PMID  16591593
• Шмид, Вильфрид (1970), «О реализации дискретной серии полупростой группы Ли». Исследования Университета Райса, 56 (2): 99–108, ISSN  0035-4996, МИСТЕР  0277668
• Шмид, Вильфрид (1975a), "Некоторые свойства квадратично интегрируемых представлений полупростых групп Ли", Анналы математики, Вторая серия, 102 (3): 535–564, Дои:10.2307/1971043, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971043, МИСТЕР  0579165
• Шмид, Вильфрид (1975b), "О характерах дискретной серии. Эрмитов симметричный случай", Inventiones Mathematicae, 30 (1): 47–144, Дои:10.1007 / BF01389847, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0396854
• Валлах, Нолан Р. (1976), "О модулях Энрайта-Варадараджана: построение дискретной серии", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 4 (1): 81–101, МИСТЕР  0422518