Продукт Blaschke - Blaschke product

В комплексный анализ, то Продукт Blaschke ограниченный аналитическая функция в открытом единичном круге, построенном так, чтобы иметь нули в (конечной или бесконечной) последовательности заданных сложные числа

а₀, а₁, ...

внутри единичный диск.

Произведение Бляшке, B (z), связанное с 50 случайно выбранными точками в единичном круге. ${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i/3}}$. B (z) представляется как Матплотлиб сюжет, используя версию Раскраска домена метод.

Продукция Blaschke была представлена Вильгельм Блашке  (1915 ). Они связаны с Пространства Харди.

Определение

Последовательность точек ${\displaystyle (a_{n})}$ внутри единичного диска удовлетворяет Условие Бляшке когда

${\displaystyle \sum _{n}(1-|a_{n}|)<\infty .}$

Для данной последовательности, удовлетворяющей условию Бляшке, произведение Бляшке определяется как

${\displaystyle B(z)=\prod _{n}B(a_{n},z)}$

с факторами

${\displaystyle B(a,z)={\frac {|a|}{a}}\;{\frac {a-z}{1-{\overline {a}}z}}}$

при условии а ≠ 0. Здесь ${\displaystyle {\overline {a}}}$ это комплексно сопряженный из а. Когда а = 0 взять B(0,z) = z.

Продукт Блашке B(z) определяет функцию, аналитическую в открытом единичном круге, и нуль точно в точке а_п (с множественность подсчитано): кроме того, он относится к классу Харди ${\displaystyle H^{\infty }}$.^[1]

Последовательность а_п удовлетворяющий указанному выше критерию сходимости, иногда называют Последовательность Бляшке.

Теорема Сегё

Теорема о Габор Сегу заявляет, что если ж в ${\displaystyle H^{1}}$, то Харди космос с интегрируемой нормой, а если ж не является тождественным нулем, то нули ж (конечно, счетное число) удовлетворяют условию Бляшке.

Конечные продукты Бляшке

Конечные произведения Бляшке можно охарактеризовать (как аналитические функции на единичном круге) следующим образом: Предположим, что ж - аналитическая функция на открытом единичном круге такая, что ж можно продолжить до непрерывной функции на замкнутом единичном диске

${\displaystyle {\overline {\Delta }}=\{z\in \mathbb {C} \,|\,|z|\leq 1\}}$

который отображает единичный круг на себя. Тогда ƒ равно конечному произведению Бляшке

${\displaystyle B(z)=\zeta \prod _{i=1}^{n}\left({{z-a_{i}} \over {1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}}}$

куда ζ лежит на единичной окружности и м_я это множественность нулевого а_я, |а_я| <1. В частности, если ƒ удовлетворяет вышеуказанному условию и не имеет нулей внутри единичной окружности, тогда ƒ постоянно (этот факт также является следствием принцип максимума за гармонические функции, примененная к гармонической функции log (|ƒ(z)|)).

Смотрите также

• Харди космос
• Продукт Вейерштрасса

Рекомендации

1. Конвей (1996) 274

• В. Блашке, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Геселл. дер Висс. Лейпциг, 67 (1915), стр. 194–200.
• Питер Колвелл, Произведения Бляшке - ограниченные аналитические функции (1985), University of Michigan Press, Ann Arbor, 140 страниц. ISBN  0-472-10065-3
• Конвей, Джон Б. Функции комплексной переменной II. Тексты для выпускников по математике. 159. Springer-Verlag. С. 273–274. ISBN  0-387-94460-5.
• Тамразов, П. (2001) [1994], «Продукт Блашке», Энциклопедия математики, EMS Press