Биквандл - Biquandle

В математика, биквандлы и бираки наборы с бинарными операциями, которые обобщают квандлы и стойки. Биквандлы принимают, в теории виртуальные узлы место, занимаемое квандлами в теории классических узлы. Бираки и стойки имеют то же отношение, а бикандл - это бирак, удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям.

Определения

Биквандлы и бираки имеют две бинарные операции над множеством ${displaystyle X}$ написано ${displaystyle a^{b}}$ и ${displaystyle a_{b}}$. Они удовлетворяют следующим трем аксиомам:

1. ${displaystyle a^{bc_{b}}={a^{c}}^{b^{c}}}$

2. ${displaystyle {a_{b}}_{c_{b}}={a_{c}}_{b^{c}}}$

3. ${displaystyle {a_{b}}^{c_{b}}={a^{c}}_{b^{c}}}$

Эти тождества появились в 1992 году в справочнике [FRS], где объект был назван видом.

Обозначение верхнего и нижнего индекса здесь полезно, поскольку оно избавляет от необходимости использовать скобки. Например, если мы напишем ${displaystyle a*b}$ за ${displaystyle a_{b}}$ и ${displaystyle a**b}$ за ${displaystyle a^{b}}$ тогда три аксиомы выше становятся

1. ${displaystyle (a**b)**(c*b)=(a**c)**(b**c)}$

2. ${displaystyle (a*b)*(c*b)=(a*c)*(b**c)}$

3. ${displaystyle (a*b)**(c*b)=(a**c)*(b**c)}$

Если вдобавок две операции обратимый, что дано ${displaystyle a,b}$ в наборе ${displaystyle X}$ есть уникальные ${displaystyle x,y}$ в наборе ${displaystyle X}$ такой, что ${displaystyle x^{b}=a}$ и ${displaystyle y_{b}=a}$ тогда набор ${displaystyle X}$ вместе с двумя операциями определяют Birack.

Например, если ${displaystyle X}$, с операцией ${displaystyle a^{b}}$, это стойка тогда это будет бирак, если мы определим другую операцию как личность, ${displaystyle a_{b}=a}$.

Для бирака функция ${displaystyle S:X^{2}ightarrow X^{2}}$ можно определить как

${displaystyle S(a,b_{a})=(b,a^{b}).,}$

потом

1. ${displaystyle S}$ это биекция

2. ${displaystyle S_{1}S_{2}S_{1}=S_{2}S_{1}S_{2},}$

Во втором условии ${displaystyle S_{1}}$ и ${displaystyle S_{2}}$ определены ${displaystyle S_{1}(a,b,c)=(S(a,b),c)}$ и ${displaystyle S_{2}(a,b,c)=(a,S(b,c))}$. Это состояние иногда называют теоретико-множественный Янг-Бакстер уравнение.

Чтобы увидеть, что 1. верно, обратите внимание, что ${displaystyle S'}$ определяется

${displaystyle S'(b,a^{b})=(a,b_{a}),}$

является обратным к

${displaystyle S,}$

Чтобы убедиться, что 2 верно, проследим за развитием тройки ${displaystyle (c,b_{c},a_{bc^{b}})}$ под ${displaystyle S_{1}S_{2}S_{1}}$. Так

${displaystyle (c,b_{c},a_{bc^{b}}) o (b,c^{b},a_{bc^{b}}) o (b,a_{b},c^{ba_{b}}) o (a,b^{a},c^{ba_{b}}).}$

С другой стороны, ${displaystyle (c,b_{c},a_{bc^{b}})=(c,b_{c},a_{cb_{c}})}$. Его прогресс под ${displaystyle S_{2}S_{1}S_{2}}$ является

${displaystyle (c,b_{c},a_{cb_{c}}) o (c,a_{c},{b_{c}}^{a_{c}}) o (a,c^{a},{b_{c}}^{a_{c}})=(a,c^{a},{b^{a}}_{c^{a}}) o (a,b_{a},c_{ab_{a}})=(a,b^{a},c^{ba_{b}}).}$

Любой ${displaystyle S}$ удовлетворяющий 1. 2. называется выключатель (предшественник бигандлов и бираков).

Примеры переключателей - идентичность, крутить ${displaystyle T(a,b)=(b,a)}$ и ${displaystyle S(a,b)=(b,a^{b})}$ куда ${displaystyle a^{b}}$ это работа стойки.

Переключатель будет определять birack, если операции обратимы. Обратите внимание, что переключатель идентификации этого не делает.

Биквандлы

Биквандл - это бирак, который удовлетворяет некоторой дополнительной структуре, так как описанный Нельсона и Риша. Аксиомы бигвандла являются «минимальными» в том смысле, что они являются самыми слабыми ограничениями, которые могут быть наложены на две бинарные операции, делая бигвандл виртуального узла инвариантным относительно движений Рейдемейстера.

Линейные биквандлы

Применение к виртуальным ссылкам и косам

Гомология Бирака

дальнейшее чтение

• [FJK] Роджер Фенн, Мерседес Джордан-Сантана, Луи Кауфман Биквандлы и виртуальные ссылки, Топология и ее приложения, 145 (2004) 157–175
• [FRS] Роджер Фенн, Колин Рурк, Брайан Сандерсон Введение в виды и пространство в стойке в Темы в теории узлов (1992), Kluwer 33–55
• [K] Л. Х. Кауфман, Теория виртуального узла, Европейский журнал комбинаторики 20 (1999), 663–690.