Бета-дуальное пространство - Beta-dual space

В функциональный анализ и смежные области математика, то бета-дуал или же β-двойной - некоторое линейное подпространство алгебраический двойственный из пространство последовательности.

Определение

Учитывая пространство последовательности Икс то β-двойной из Икс определяется как

${\displaystyle X^{\beta }:=\left\{x\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\ :\ \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}{\text{ converges }}\quad \forall y\in X\right\}.}$

Если Икс является FK-пространство затем каждый у в Икс^β определяет непрерывная линейная форма на Икс

${\displaystyle f_{y}(x):=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\qquad x\in X.}$

Примеры

• ${\displaystyle c_{0}^{\beta }=\ell ^{1}}$
• ${\displaystyle (\ell ^{1})^{\beta }=\ell ^{\infty }}$
• ${\displaystyle \omega ^{\beta }=\{0\}}$

Характеристики

Бета-дуальное к FK-пространству E это линейное подпространство из непрерывный дуальный из E. Если E является ФК-АК космос то двойственный бета линейно изоморфен непрерывному двойственному.