Парадокс коробки Бертрана - Bertrands box paradox

О других парадоксах Джозефа Бертрана см. Парадокс Бертрана (значения).

Парадокс начинается с трех коробок, содержимое которых изначально неизвестно.

Парадокс коробки Бертрана это парадокс элементарного теория вероятности, впервые поставленный Джозеф Бертран в его работе 1889 года Calcul des probabilités.

Есть три коробки:

1. ящик с двумя золотыми монетами,
2. ящик с двумя серебряными монетами,
3. коробка, содержащая одну золотую монету и одну серебряную монету.

«Парадокс» заключается в вероятности того, что после случайного выбора коробки и извлечения одной случайной монеты, если это будет золотая монета, следующая монета, вытащенная из той же коробки, также будет золотой монетой.

Эти простые, но нелогичные головоломки используются в качестве стандартного примера при обучении теории вероятностей. Их решение иллюстрирует некоторые основные принципы, в том числе Аксиомы Колмогорова.

Решение

Может показаться, что вероятность того, что оставшаяся монета будет золотой, равна 1/2, но на самом деле вероятность 2/3.

Две очень похожие проблемы: Проблема Монти Холла иПроблема трех узников.

Ящики с ящиками объяснение

Проблему можно переосмыслить, описав коробки как имеющие по одному ящику на каждой из двух сторон. В каждом ящике находится монета. У одной коробки с каждой стороны по золотой монете (GG), по серебряной монете с каждой стороны (SS), а с другой - золотая монета с одной стороны и серебряная монета с другой (GS). Случайно выбирается коробка, открывается случайный ящик, в котором находят золотую монету. Какова вероятность того, что монета на другой стороне будет золотой?

Следующее рассуждение дает вероятность 1/2:

• Первоначально все три коробки были выбраны с одинаковой вероятностью.
• Выбранный ящик не может быть ящиком SS.
• Так что это должна быть коробка GG или же GS.
• Две оставшиеся возможности равновероятны. Таким образом, вероятность того, что коробка GG, а другая монета тоже золотая, 1/2.

Ошибка на последнем этапе. Хотя изначально эти два случая были одинаково вероятными, тот факт, что вы обязательно найдете золотую монету, если выберете GG коробку, но только на 50% уверены, что найдете золотую монету, если выбрали GS коробка, означает, что они больше не равновероятны, учитывая, что вы нашли золотую монету. Конкретно:

• Вероятность того, что GG произвела бы золотую монету - 1.
• Вероятность того, что SS произвела бы золотую монету 0.
• Вероятность того, что GS произвел бы золотую монету 1/2.

Первоначально GG, SS и GS одинаково вероятны ${\displaystyle \left(\mathrm {i.e.,P(GG)=P(SS)=P(GS)} ={\frac {1}{3}}\right)}$. Следовательно, по Правило Байеса условная вероятность того, что выбранный ящик GG, учитывая, что мы наблюдали золотую монету, это:

${\displaystyle \mathrm {P(GG\mid see\ gold)={\frac {P(see\ gold\mid GG)\times {\frac {1}{3}}}{P(see\ gold\mid GG)\times {\frac {1}{3}}+P(see\ gold\mid SS)\times {\frac {1}{3}}+P(see\ gold\mid GS)\times {\frac {1}{3}}}}} ={\frac {\frac {1}{3}}{\frac {1}{3}}}\times {\frac {1}{1+0+{\frac {1}{2}}}}={\frac {2}{3}}}$

Правильный ответ 2/3 также можно получить следующим образом:

• Первоначально все шесть монет были выбраны с одинаковой вероятностью.
• Выбранная монета не может быть из ящика S коробки GS, или из любого ящика коробки SS.
• Так что это должно исходить от грамм ящик коробки GS, или любой ящик коробки GG.
• Три оставшихся варианта равновероятны, поэтому вероятность того, что ящик находится в коробке GG является 2/3.

Как вариант, можно просто отметить, что в выбранном сундучке две монеты одного типа. 2/3 времени. Таким образом, независимо от того, какая монета находится в выбранном ящике, в коробке есть две монеты этого типа. 2/3 времени. Другими словами, проблема эквивалентна задаче вопроса «Какова вероятность, что я выберу коробку с двумя монетами одного цвета?».

При построении этого примера Бертран хотел показать, что простой подсчет случаев не всегда является правильным. Вместо этого следует просуммировать вероятности того, что случаи дадут наблюдаемый результат; и эти два метода эквивалентны, только если эта вероятность равна 1 или 0 в каждом случае. Это условие правильно применяется во втором способе решения, но не в первом.

Парадокс в изложении Бертрана

Правильный ответ будет легче понять, если вы рассмотрите парадокс в том виде, в каком его первоначально описал Бертран. После того, как ящик был выбран, но до того, как ящик будет открыт, чтобы вы могли увидеть монету, вероятность равна 2/3 что в ящике две монеты одного вида. Если вероятность «увидеть золотую монету» в сочетании с «в коробке есть две монеты одного вида» равна 1/2, то вероятность «увидеть серебряную монету» в сочетании с «в коробке есть две монеты одного вида» также должна быть 1/2. И если вероятность того, что в коробке будет две одинаковых монеты, изменится на 1/2 независимо от того, какая монета изображена, вероятность должна быть 1/2 даже если вы так не наблюдали за монетой. Поскольку мы знаем, что его вероятность равна 2/3, нет 1/2, перед нами очевидный парадокс. Его можно решить, только осознав, как комбинация «наблюдения за золотой монетой» с каждой возможной коробкой может повлиять только на вероятность того, что коробка была GS или же SS, но нет GG.

Версия карты

Предположим, есть три карты:

• А черная карта это черный с обеих сторон,
• А белая карта это белое с обеих сторон, и
• А смешанная карта это черный с одной стороны и белый с другой.

Все карты помещаются в шляпу, а одна случайным образом вытягивается и кладется на стол. Сторона, обращенная вверх, черная. Каковы шансы, что другая сторона тоже черная?

Ответ в том, что другая сторона черная с вероятностью 2/3. Однако обычная интуиция подсказывает вероятность 1/2 либо потому, что есть две карты с черными на них, которыми может быть эта карта, либо потому, что есть 3 белые и 3 черные стороны, и многие люди забывают исключить возможность «белой карты» в этой ситуации (то есть карты, которую они перевернули не можешь быть «белой картой», потому что черная сторона была перевернута).

В опросе 53 первокурсников по психологии, проходивших вводный курс вероятности, 35 неправильно ответили. 1/2; правильно ответили только 3 студента 2/3.^[1]

Еще одно представление проблемы: выберите случайную карту из трех, каковы шансы, что у нее такой же цвет на другой стороне? Поскольку смешивается только одна карта, а две имеют одинаковый цвет по бокам, легче понять, что вероятность равна 2/3. Также обратите внимание, что утверждение, что цвет черный (или монета золотая) вместо белого, не имеет значения, поскольку он симметричен: ответ такой же для белого. Таков ответ на общий вопрос «одинаковый цвет с обеих сторон».

Предварительные мероприятия

Чтобы решить проблему формально или неформально, необходимо назначить вероятности событиям розыгрыша каждой из шести граней трех карт. Эти вероятности могли быть очень разными; возможно, белая карта больше черной карты или черная сторона смешанной карты тяжелее белой. Формулировка вопроса прямо не решает эти проблемы. Единственные ограничения, подразумеваемые Аксиомы Колмогорова заключаются в том, что все вероятности неотрицательны и в сумме равны 1.

В задачах, когда буквально вытаскивают предметы из шляпы, принято считать, что все вероятности рисования равны. Это заставляет вероятность рисования каждой стороны быть 1/6, поэтому вероятность вытягивания данной карты равна 1/3. В частности, вероятность вытягивания двойной белой карты равна 1/3, а вероятность вытащить другую карту равна 2/3.

Под вопросом, однако, уже была выбрана карта из шляпы, и она показывает черное лицо. На первый взгляд кажется, что существует вероятность 50/50 (т.е. вероятность 1/2), что обратная сторона карты черная, так как это может быть две карты: черная и смешанная. Однако это рассуждение не может использовать всю информацию; известно не только то, что карта на столе имеет хотя бы одну черную лицевую сторону, но также и то, что в популяции, из которой она была выбрана, только 1 из 3 черных лиц была на смешанной карте.

Простое объяснение состоит в том, что называть черные стороны как Икс, у и z куда Икс и у находятся на одной карте, пока z находится на смешанной карте, то вероятность делится на 3 черные стороны: 1/3 каждый. таким образом, вероятность того, что мы выбрали Икс или же у сумма их вероятностей, таким образом 2/3.

Решения

Интуиция

Интуиция подсказывает, что карту выбирают наугад. Однако на самом деле лицо выбирают случайно. Всего имеется 6 лиц, из которых 3 лица белые и 3 лица черные. 2 из 3 черных лиц принадлежат одной карте. Вероятность выбора одного из этих двух лиц равна 2/3. Таким образом, шанс перевернуть карту и найти еще одно черное лицо также велик. 2/3. Другой способ думать об этом заключается в том, что проблема не в вероятности того, что другая сторона черная, а в вероятности того, что вы вытащили полностью черную карту. Если вы нарисовали черную морду, то вероятность того, что эта грань принадлежит черной карте, в два раза выше, чем смешанной карте.

С другой стороны, это можно рассматривать как ставку не на определенный цвет, а как ставку на совпадение сторон. Ставки на определенный цвет, независимо от показанного лица, всегда будут иметь шанс 1/2. Однако ставка на совпадение сторон 2/3, потому что 2 карты совпадают, а 1 нет.

Этикетки

Один из способов решения проблемы - пометить лицевую сторону карты, например, цифрами от 1 до 6.^[2] Обозначьте грани черной карты 1 и 2; маркируйте грани смешанной карты 3 (черный) и 4 (белый); и обозначьте грани белой карты 5 и 6. Наблюдаемое черное лицо может быть 1, 2 или 3, все одинаково вероятны; если 1 или 2, другая сторона черная, а если 3, другая сторона белая. Вероятность того, что другая сторона черная, равна 2/3. Эта вероятность может быть получена следующим образом: пусть случайная величина B равна черному лицу (то есть вероятность успеха, поскольку мы ищем черное лицо). Используя аксиому Колмогорова о том, что все вероятности должны равняться 1, мы можем заключить, что вероятность рисования белого лица равна 1 - P (B). Поскольку P (B) = P (1) + P (2), следовательно, P (B) =1/3 + 1/3 = 2/3. Точно так же мы можем сделать это P (белое лицо) = 1 -2/3 = 1/3.

Теорема Байеса

Учитывая, что показанное лицо является черным, другое лицо будет черным тогда и только тогда, когда карта является черной картой. Если вытянута черная карта, с вероятностью 1 показано черное лицо. Общая вероятность увидеть черное лицо составляет 1/2; общая вероятность вытягивания черной карты равна 1/3. К Теорема Байеса, условная вероятность вытащить черную карту, учитывая, что отображается черное лицо, равна

${\displaystyle {\frac {1\times {\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{3}}.}$

Этот аргумент может быть более интуитивно понятным, если использовать Правило Байеса скорее, чем Теорема Байеса^[3]. Увидев черное лицо, мы можем исключить белую карту. Нас интересует вероятность того, что карта черная при отображении черной лицевой стороны. Первоначально одинаково вероятно, что карта черная и что она смешанная: предыдущие шансы равны 1: 1. Учитывая, что он черный, мы обязательно увидим черное лицо, но учитывая, что он смешанный, мы только на 50% уверены, что увидим черное лицо. Отношение этих вероятностей, называемое отношением правдоподобия или Фактор Байеса, составляет 2: 1. Правило Байеса гласит: «Апостериорные шансы равны предыдущим шансам, умноженным на отношение правдоподобия». Поскольку априорные шансы равны 1: 1, апостериорные шансы равны отношению правдоподобия 2: 1. Теперь вероятность того, что карта будет черной, вдвое выше, чем ее смешанной.

Устранение белой карты

Хотя из-за неправильного решения белая карточка удаляется, эту информацию можно также использовать в правильном решении. При изменении предыдущего метода, учитывая, что белая карта не вытягивается, вероятность увидеть черное лицо равно 3/4, а вероятность вытягивания черной карты равна 1/2. Условная вероятность вытягивания черной карты при отображении черного лица равна

${\displaystyle {\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)}{\left({\frac {3}{4}}\right)}}={\frac {2}{3}}.}$

Симметрия

Вероятность (без учета отдельных цветов) того, что скрытый цвет совпадает с отображаемым цветом, явно 2/3, поскольку это имеет если и только если выбранная карта - черная или белая, что означает выбор 2 из 3 карт. Симметрия предполагает, что вероятность является независимый выбранного цвета, чтобы информация о том, какой цвет отображается, не влияет на вероятность того, что обе стороны имеют одинаковый цвет.

Этот аргумент верен и может быть формализован следующим образом. Посредством закон полной вероятности, вероятность того, что скрытый цвет совпадает с отображаемым цветом, равна средневзвешенному значению вероятностей того, что скрытый цвет совпадает с отображаемым цветом, при условии, что отображаемый цвет является черным или белым соответственно (веса - это вероятности видя черный и белый соответственно). По симметрии две условные вероятности того, что цвета совпадают, если мы видим черный и белый, одинаковы. Поскольку они, кроме того, в среднем составляют 2/3 они оба должны быть равны 2/3.

Эксперимент

Используя специально сконструированные карточки, выбор можно проверить несколько раз. Пусть «B» обозначает цвет Чернить. Построив дробь с знаменатель количество раз, когда "B" находится сверху, а числитель количество раз, когда обе стороны оказываются "B", экспериментатор будет наверное найти соотношение, чтобы быть рядом 2/3.

Обратите внимание на логический факт, что карта B / B вносит значительно больший (фактически в два раза) вклад в количество раз, когда «B» оказывается сверху. С черно-белой картой всегда есть 50% -ная вероятность того, что W находится наверху, таким образом, в 50% случаев вытягивается черно-белая карта, ничья не влияет ни на числитель, ни на знаменатель и фактически не учитывается (это также верно для все раз W / W тянется, так что эту карту также можно полностью удалить из набора). В конце концов, карты Ч / Б и Ч / Б не имеют равных шансов, потому что в 50% случаев вытягивается Ч / Б, эта карта просто «дисквалифицируется».

Связанные проблемы

• Парадокс мальчика или девочки
• Проблема Монти Холла
• Проблема трех узников
• Проблема с двумя конвертами
• Проблема Спящей красавицы

Примечания

1. ^ Бар-Гиллель и Фальк (стр. 119)
2. ^ Никерсон (стр. 158) считает это решение «менее запутанным», чем другие методы.
3. ^ Бар-Гиллель и Фальк (стр. 120) выступают за использование Правило Байеса.

Рекомендации

• Бар-Гилель, Майя; Фальк, Рума (1982). «Несколько тизеров по поводу условных вероятностей». Познание. 11 (2): 109–22. Дои:10.1016 / 0010-0277 (82) 90021-X. PMID  7198956.
• Никерсон, Раймонд (2004). Познание и шанс: психология вероятностных рассуждений, Лоуренс Эрлбаум. Гл. 5, «Некоторые поучительные задачи: Три карты», стр. 157–160. ISBN  0-8058-4898-3
• Майкл Кларк, Парадоксы от А до Я, п. 16;
• Говард Марголис, Уэйсон, Монти Холл и неблагоприятные дефолты.

внешняя ссылка

• Оценка вероятности с помощью случайных ящиков и имен, симуляция