Фиксированная точка Бэнкса – Закса - Banks–Zaks fixed point

В квантовая хромодинамика (а также N = 1 суперквантовая хромодинамика ) с безмассовым ароматы, если количество вкусов, N_ж, достаточно мала (т.е. достаточно мала, чтобы гарантировать асимптотическая свобода, в зависимости от количества цвета ) теория может перейти к взаимодействующей конформной фиксированная точка из ренормгруппа.^[1] Если значение сцепления в этой точке меньше единицы (т.е. можно выполнить теория возмущений в слабой связи), то неподвижная точка называется Фиксированная точка Бэнкса – Закса. О существовании фиксированной точки впервые сообщили в 1974 г. Белавин и Мигдал. ^[2] и Касуэллом,^[3] и позже использовался Бэнксом и Заком ^[4] в своем анализе фазовой структуры векторных калибровочных теорий с безмассовыми фермионами. Название Фиксированная точка Касуэлла-Бэнкса – Закса также используется.

Более конкретно, предположим, что мы обнаружили, что бета-функция теории с числом петель до двух имеет вид

${\displaystyle \beta (g)=-b_{0}g^{3}+b_{1}g^{5}+{\mathcal {O}}(g^{7})\,}$

куда ${\displaystyle b_{0}}$ и ${\displaystyle b_{1}}$ положительные константы. Тогда существует значение ${\displaystyle g=g_{\ast }}$ такой, что ${\displaystyle \beta (g_{\ast })=0}$:

${\displaystyle g_{\ast }^{2}={\frac {b_{0}}{b_{1}}}.}$

Если мы сможем организовать ${\displaystyle b_{0}}$ быть меньше чем ${\displaystyle b_{1}}$, то имеем ${\displaystyle g_{\ast }^{2}<1}$. Отсюда следует, что когда теория переходит в ИК, это конформная слабосвязанная теория со связью ${\displaystyle g_{\ast }}$.

В случае неабелева калибровочная теория с группой калибров ${\displaystyle SU(N_{c})}$ и Фермионы Дирака в фундаментальном представлении калибровочной группы ароматизированных частиц имеем

${\displaystyle b_{0}={\frac {1}{16\pi ^{2}}}{\frac {1}{3}}(11N_{c}-2N_{f})\;\;\;\;{\text{ and }}\;\;\;\;b_{1}=-{\frac {1}{(16\pi ^{2})^{2}}}\left({\frac {34}{3}}N_{c}^{2}-{\frac {1}{2}}N_{f}\left(2{\frac {N_{c}^{2}-1}{N_{c}}}+{\frac {20}{3}}N_{c}\right)\right)}$

куда ${\displaystyle N_{c}}$ это количество цветов и ${\displaystyle N_{f}}$ количество ароматов. потом ${\displaystyle N_{f}}$ должен лежать чуть ниже ${\displaystyle {\tfrac {11}{2}}N_{c}}$ чтобы появилась фиксированная точка Бэнкса – Закса. Обратите внимание, что эта фиксированная точка возникает только в том случае, если в дополнение к предыдущему требованию на ${\displaystyle N_{f}}$ (что гарантирует асимптотическую свободу),

${\displaystyle {\frac {11}{2}}N_{c}>N_{f}>{\frac {34N_{c}^{3}}{(13N_{c}^{2}-3)}}}$

где нижняя граница возникает из требования ${\displaystyle b_{1}>0}$. Сюда ${\displaystyle b_{1}}$ остается положительным, пока ${\displaystyle -b_{0}}$ все еще отрицательное (см. первое уравнение в статье), и можно решить ${\displaystyle \beta (g)=0}$ с реальными решениями для ${\displaystyle g}$. Коэффициент ${\displaystyle b_{1}}$ был впервые правильно вычислен Касвеллом,^[3] в то время как более ранняя статья Белавина и Мигдала ^[2] имеет неправильный ответ.

Смотрите также

• Бета-функция

Рекомендации

1. Тернинг, Джон (2006). Современная суперсимметрия: динамика и двойственность. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0198567634.
2. Белавин, А.А .; Мигдал, А.А. (5 марта 1974 г.). «Расчет аномальных размерностей в неабелевых калибровочных теориях поля». ЖЭТФ Lett. 19: 181.
3. Касуэлл, Уильям Э. (22 июля 1974 г.). "Асимптотическое поведение неабелевых калибровочных теорий к двухпетлевому порядку". Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 33 (4): 244–246. Дои:10.1103 / Physrevlett.33.244. ISSN  0031-9007.
4. Банки, т .; Закс, А. (1982). «О фазовой структуре векторных калибровочных теорий с безмассовыми фермионами». Ядерная физика B. Elsevier BV. 196 (2): 189–204. Дои:10.1016/0550-3213(82)90035-9. ISSN  0550-3213.

• Т. Дж. Холловуд "Ренормализационная группа и неподвижные точки в квантовой теории поля", Springer, 2013 г., ISBN  978-3-642-36311-5.