Функция неоднозначности - Ambiguity function

В импульсном радар и сонар обработка сигналов, функция неоднозначности является двумерной функцией Задержка распространения ${\displaystyle \tau }$ и Доплеровская частота ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \chi (\tau ,f)}$. Он представляет собой искажение возвращенного импульса от приемника согласованный фильтр^[1] (обычно, но не исключительно, используется в сжатие импульса радар) возврата от движущейся цели. Функция неоднозначности определяется свойствами пульс и фильтра, а не какого-либо конкретного целевого сценария.

Существует множество определений функции неоднозначности; некоторые ограничиваются узкополосными сигналами, а другие подходят для описания задержки и доплеровского отношения широкополосных сигналов. Часто определение функции неоднозначности дается как квадрат величины других определений (Weiss^[2]). Для данного сложный основная полоса пульс ${\displaystyle s(t)}$, функция узкополосной неоднозначности имеет вид

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi ft}\,dt}$

куда ${\displaystyle ^{*}}$ обозначает комплексно сопряженный и ${\displaystyle i}$ это мнимая единица. Обратите внимание, что для нулевого доплеровского сдвига (${\displaystyle f=0}$), это сводится к автокорреляция из ${\displaystyle s(t)}$. Более сжатый способ представления функции неоднозначности состоит в исследовании одномерных «разрезов» с нулевой задержкой и нулевым доплеровским сдвигом; то есть, ${\displaystyle \chi (0,f)}$ и${\displaystyle \chi (\tau ,0)}$, соответственно. Выходной сигнал согласованного фильтра как функция времени (сигнал, который можно было бы наблюдать в радиолокационной системе) представляет собой доплеровский разрез с постоянной частотой, задаваемой доплеровским сдвигом цели: ${\displaystyle \chi (\tau ,f_{D})}$.

Предпосылки и мотивация

Импульсно-доплеровский радар оборудование рассылает серию радиочастота импульсы. Каждый импульс имеет определенную форму (форму волны) - какой длины импульс, какова его частота, изменяется ли частота во время импульса и т. Д. Если волны отражаются от одного объекта, детектор увидит сигнал, который в простейшем случае является копией исходного импульса, но с задержкой на определенное время. ${\displaystyle \tau }$- связанные с расстоянием до объекта - и сдвинутые на определенную частоту ${\displaystyle f}$—Относится к скорости объекта (Доплеровский сдвиг ). Если исходная форма излучаемого импульсного сигнала ${\displaystyle s(t)}$, то обнаруженный сигнал (без учета шума, затухания и искажений, а также широкополосных поправок) будет:

${\displaystyle s_{\tau ,f}(t)\equiv s(t-\tau )e^{i2\pi ft}.}$

Обнаруженный сигнал никогда не будет точно равно любому ${\displaystyle s_{\tau ,f}}$ из-за шума. Тем не менее, если обнаруженный сигнал имеет высокую корреляцию с ${\displaystyle s_{\tau ,f}}$, для определенной задержки и доплеровского сдвига ${\displaystyle (\tau ,f)}$, значит, есть объект с ${\displaystyle (\tau ,f)}$. К сожалению, эта процедура может дать ложные срабатывания, т.е. неправильные значения ${\displaystyle (\tau ',f')}$ которые, тем не менее, сильно коррелируют с обнаруженным сигналом. В этом смысле обнаруженный сигнал может быть двусмысленный.

Неоднозначность возникает, в частности, когда существует высокая корреляция между ${\displaystyle s_{\tau ,f}}$ и ${\displaystyle s_{\tau ',f'}}$ за ${\displaystyle (\tau ,f)\neq (\tau ',f')}$. Это мотивирует функция неоднозначности ${\displaystyle \chi }$. Определяющее свойство ${\displaystyle \chi }$ в том, что корреляция между ${\displaystyle s_{\tau ,f}}$ и ${\displaystyle s_{\tau ',f'}}$ равно ${\displaystyle \chi (\tau -\tau ',f-f')}$.

Различные формы импульсов (формы сигналов) ${\displaystyle s(t)}$ имеют разные функции неоднозначности, и функция неоднозначности имеет значение при выборе того, какой импульс использовать.

Функция ${\displaystyle \chi }$ комплекснозначный; степень "двусмысленности" связана с ее величиной ${\displaystyle |\chi (\tau ,f)|^{2}}$.

Связь с частотно-временными распределениями

Функция неоднозначности играет ключевую роль в области частотно-частотная обработка сигналов,^[3] поскольку это связано с Распределение Вигнера – Вилля двумерным преобразование Фурье. Эта взаимосвязь является фундаментальной для формулировки других частотно-временные распределения: the билинейные частотно-временные распределения получаются посредством двумерной фильтрации в области неоднозначности (то есть функции неоднозначности сигнала). Этот класс распределения может быть лучше адаптирован к рассматриваемым сигналам.^[4]

Более того, распределение неоднозначности можно рассматривать как кратковременное преобразование Фурье сигнала, использующего сам сигнал как оконную функцию. Это замечание было использовано для определения распределения неоднозначности по временной шкале вместо частотно-временной области.^[5]

Функция широкополосной неоднозначности

Функция широкополосной неоднозначности ${\displaystyle s\in L^{2}(R)}$ является:^[2][6]

${\displaystyle WB_{ss}(\tau ,\alpha )={\sqrt {|{\alpha }|}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(\alpha (t-\tau ))\,dt}$

куда ${\displaystyle {\alpha }}$ - коэффициент масштабирования по времени принятого сигнала относительно переданного сигнала, определяемый как:

${\displaystyle \alpha ={\frac {c+v}{c-v}}}$

для цели, движущейся с постоянной радиальной скоростью v. Отражение сигнала представлено сжатием (или расширением) во времени коэффициентом ${\displaystyle \alpha }$, что эквивалентно сжатию в множитель ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ в частотной области (с масштабированием амплитуды). Когда скорость волны в среде значительно превышает скорость цели, как это обычно бывает с радаром, это сжатие по частоте близко аппроксимируется сдвиг по частоте Δf = f_c* v / c (известный как доплеровский сдвиг ). Для узкополосного сигнала это приближение приводит к приведенной выше функции узкополосной неоднозначности, которую можно эффективно вычислить, используя БПФ алгоритм.

Идеальная функция неоднозначности

Интересующая функция неоднозначности - это двумерная Дельта-функция Дирака или функция "кнопки"; то есть функция, которая бесконечна в (0,0) и равна нулю в другом месте.

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\delta (\tau )\delta (f)\,}$

Функция неоднозначности такого рода была бы некорректной; в нем вообще не было бы двусмысленностей, и разрезы с нулевой задержкой и нулевым доплеровским импульс. Обычно это нежелательно (если у цели есть какой-либо доплеровский сдвиг от неизвестной скорости, она исчезнет с радиолокационного изображения), но если доплеровская обработка выполняется независимо, знание точной доплеровской частоты позволяет измерять расстояние без помех от любых других целей, которые не движется с той же скоростью.

Этот тип функции неоднозначности создается идеальным белый шум (бесконечная длительность и бесконечная пропускная способность).^[7] Однако это потребует бесконечной мощности и физически невозможно. Нет пульса ${\displaystyle s(t)}$ что произведет ${\displaystyle \delta (\tau )\delta (f)}$ из определения функции неоднозначности. Однако приближения существуют, и шумоподобные сигналы, такие как двоичные сигналы с фазовой манипуляцией, использующие последовательности максимальной длины, являются наиболее известными исполнителями в этом отношении.^[8]

Характеристики

(1) Максимальное значение

${\displaystyle |\chi (\tau ,f)|^{2}\leq |\chi (0,0)|^{2}}$

(2) Симметрия относительно происхождения

${\displaystyle \chi (\tau ,f)=\exp[j2\pi \tau f]\chi ^{*}(-\tau ,-f)\,}$

(3) Объемная инвариантность

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{2}\,d\tau \,df=|\chi (0,0)|^{2}=E^{2}}$

(4) Модуляция линейным FM-сигналом

${\displaystyle {\text{If }}s(t)\rightarrow |\chi (\tau ,f)|{\text{ then }}s(t)\exp[j\pi kt^{2}]{\rightarrow }|\chi (\tau ,f+k\tau )|\,}$

(5) Частотный энергетический спектр

${\displaystyle S(f)S^{*}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (\tau ,0)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

(6) Верхние оценки для ${\displaystyle p>2}$ и нижние оценки для ${\displaystyle p<2}$ существовать ^[9]для ${\displaystyle p^{th}}$ степенные интегралы

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|\chi (\tau ,f)|^{p}\,d\tau \,df}$.

Эти оценки точны и достигаются тогда и только тогда, когда ${\displaystyle s(t)}$ - гауссова функция.

Прямоугольный импульс

Функция неоднозначности для прямоугольного импульса

Рассмотрим простой прямоугольный импульс длительностью ${\displaystyle \tau }$ и амплитуда ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A(u(t)-u(t-\tau ))\,}$

куда ${\displaystyle u(t)}$ это Ступенчатая функция Хевисайда. Выходной сигнал согласованного фильтра определяется автокорреляция импульса, который представляет собой треугольный импульс высотой ${\displaystyle \tau ^{2}A^{2}}$ и продолжительность ${\displaystyle 2\tau }$ (нулевой доплеровский разрез). Однако, если измеренный импульс имеет сдвиг частоты из-за доплеровского сдвига, выходной сигнал согласованного фильтра искажается в функция sinc. Чем больше доплеровский сдвиг, тем меньше пик результирующего синк и тем труднее обнаружить цель.^{[нужна цитата ]}

В общем, прямоугольный импульс не является желательной формой волны с точки зрения сжатия импульса, потому что функция автокорреляции слишком коротка по амплитуде, что затрудняет обнаружение целей в шуме, и слишком широкая по времени, что затрудняет различение нескольких перекрывающихся целей. .

LFM импульс

Функция неоднозначности для LFM-импульса

Обычно используемый радар или же сонар Pulse - это импульс с линейной частотной модуляцией (LFM) (или "щебетание"). Его преимущество заключается в большей ширине полосы при сохранении короткой длительности импульса и постоянной огибающей. А постоянный конверт LFM-импульс имеет функцию неоднозначности, аналогичную функции прямоугольного импульса, за исключением того, что он искажен в плоскости доплеровской задержки. Незначительные доплеровские рассогласования для LFM-импульса не изменяют общую форму импульса и очень мало уменьшают амплитуду, но они действительно сдвигают время импульса. Таким образом, нескомпенсированный доплеровский сдвиг изменяет видимую дальность действия цели; это явление называется доплеровской связью по дальности.

Функции мультистатической неоднозначности

Функция неоднозначности может быть расширена до мультистатических радаров, которые включают в себя несколько несовместимых передатчиков и / или приемников (и могут включать бистатический радар как частный случай).

Для этих типов радаров простая линейная зависимость между временем и дальностью, которая существует в моностатическом случае, больше не применяется, а вместо этого зависит от конкретной геометрии, то есть относительного местоположения передатчика (ов), приемника (ов) и цели. Следовательно, функцию мультистатической неоднозначности обычно полезно определять как функцию двух- или трехмерных векторов положения и скорости для данной мультистатической геометрии и передаваемой формы волны.

Так же, как функция моностатической неоднозначности естественным образом выводится из согласованного фильтра, функция мультистатической неоднозначности выводится из соответствующего оптимального мультистатический детектор - то есть тот, который максимизирует вероятность обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги посредством совместной обработки сигналов на всех приемниках. Природа этого алгоритма обнаружения зависит от того, коррелируют ли целевые колебания, наблюдаемые каждой бистатической парой в мультистатической системе, взаимной корреляцией. Если это так, оптимальный детектор выполняет фазово-когерентное суммирование принятых сигналов, что может привести к очень высокой точности определения местоположения цели.^[10] В противном случае оптимальный детектор выполняет некогерентное суммирование принятых сигналов, что дает выигрыш от разнесения. Такие системы иногда называют MIMO радары из-за сходства теоретической информации с MIMO системы связи.^[11]

Смотрите также

• Соответствующий фильтр
• Сжатие импульса
• Импульсно-доплеровский радар
• Цифровая обработка сигналов
• Филип Вудворд

Рекомендации

1. Вудворд П.М. Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам, Норвуд, Массачусетс: Artech House, 1980.
2. Вайс, Лора Г. "Вейвлеты и широкополосная корреляционная обработка". Журнал IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, январь 1994 г.
3. Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Цифровая обработка сигналов, т. 19, нет. 1, стр. 153-183, январь 2009 г.
4. Б. Боашаш, редактор, «Частотно-временной анализ и обработка сигналов - исчерпывающий справочник», Elsevier Science, Oxford, 2003; ISBN  0-08-044335-4
5. Shenoy, R.G .; Паркс, Т.В., "Аффинные распределения Вигнера", Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, ICASSP-92., Стр.185-188, том 5, 23-26 марта 1992 г., DOI: 10.1109 / ICASSP.1992.226539
6. Л. Сибул, Л. Зиомек, "Обобщенная функция широкополосной кросс-неоднозначности", Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, ICASSP '81 .01 / 05/198105/1981; 6: 1239–1242.
7. Обработка сигналов в радаре с шумовой формой волны Кшиштоф Кульпа (Google Книги)
8. G. Jourdain и J. P. Henrioux, "Использование сигналов двоичной фазовой манипуляции с большой шириной полосы пропускания и длительностью в доплеровских измерениях целевой задержки", J. Acoust. Soc. Являюсь. 90, 299–309 (1991).
9. Э. Х. Либ, "Интегральные границы для функций радиолокационной неоднозначности и распределения Вигнера", J. Math. Phys., Т. 31, стр 594-599 (1990)
10. Т. Дерхэм, С. Даути, К. Бейкер, К. Вудбридж, «Функции неоднозначности для пространственно-когерентного и некогерентного мультистатического радара», IEEE Trans. Аэрокосмические и электронные системы (в печати).
11. Г. Сан-Антонио, Д. Фурманн, Ф. Роби, "Функции неоднозначности радара MIMO", Журнал IEEE, посвященный избранным темам в обработке сигналов, Vol. 1, № 1 (2007).

дальнейшее чтение

• Ричардс, Марк А. Основы обработки радиолокационных сигналов. McGraw – Hill Inc., 2005. ISBN  0-07-144474-2.
• Ипатов, Валерий П. Расширенный спектр и CDMA. Wiley & Sons, 2005 г. ISBN  0-470-09178-9
• Черняк В.С. Основы многопозиционных радарных систем, CRC Press, 1998.
• Соломон В. Голомб и Гуан Гун. Дизайн сигнала для хорошей корреляции: для беспроводной связи, криптографии и радара. Издательство Кембриджского университета, 2005.
• М. Солтаналиан. Дизайн сигналов для активного зондирования и связи. Упсальские диссертации факультета науки и технологий (напечатаны Elanders Sverige AB), 2014 г.
• Надав Леванон и Эли Мозесон. Радиолокационные сигналы. Вайли. ком, 2004.
• Аугусто Обри, Антонио Де Майо, Бо Цзян и Шучжун Чжан. "Формирование функции неоднозначности для когнитивного радара с помощью комплексной четвертой оптимизации. "IEEE Transactions on Signal Processing 61 (2013): 5603-5619.
• Моджтаба Солтаналиан и Петре Стойка. "Вычислительный дизайн последовательностей с хорошими корреляционными свойствами. "IEEE Transactions on Signal Processing, 60.5 (2012): 2180-2193.
• Г. Крётч, М. А. Гомес-Мендес, Transformada Discreta de Ambigüedad, Revista Mexicana de Física, Vol. 63. С. 505--515 (2017). "Transformada Discreta de Ambigüedad ".