Алгебраически замкнутая группа - Algebraically closed group

В математика, в сфере теория групп, а группа ${displaystyle A }$ является алгебраически замкнутый если любой конечный набор уравнений и неравенств, которые "имеют смысл" в ${displaystyle A }$ есть решение в ${displaystyle A }$ без необходимости расширение группы. Это понятие будет уточнено позже в статье в 搂 Формальное определение.

Неформальное обсуждение

Предположим, мы хотели найти элемент ${displaystyle x }$ группы ${displaystyle G }$ удовлетворяющие условиям (уравнениям и неравенствам):

${displaystyle x^{2}=1 }$

${displaystyle x^{3}=1 }$

${displaystyle xeq 1 }$

Тогда легко увидеть, что это невозможно, потому что первые два уравнения подразумевают ${displaystyle x=1 }$. В этом случае мы говорим, что набор условий непоследовательный с ${displaystyle G }$. (Фактически, этот набор условий несовместим с какой-либо группой.)

${displaystyle G }$
${displaystyle . }$ ${displaystyle {underline {1}} }$ ${displaystyle {underline {a}} }$ ${displaystyle {underline {1}} }$ ${displaystyle 1 }$ ${displaystyle a }$ ${displaystyle {underline {a}} }$ ${displaystyle a }$ ${displaystyle 1 }$

Теперь предположим ${displaystyle G }$ это группа с таблицей умножения:

Тогда условия:

${displaystyle x^{2}=1 }$

${displaystyle xeq 1 }$

есть решение в ${displaystyle G }$, а именно ${displaystyle x=a }$.

Однако условия:

${displaystyle x^{4}=1 }$

${displaystyle x^{2}a^{-1}=1 }$

Нет решения в ${displaystyle G }$, что легко проверить.

${displaystyle H }$

${displaystyle . }$ ${displaystyle {underline {1}} }$ ${displaystyle {underline {a}} }$ ${displaystyle {underline {b}} }$ ${displaystyle {underline {c}} }$ ${displaystyle {underline {1}} }$ ${displaystyle 1 }$ ${displaystyle a }$ ${displaystyle b }$ ${displaystyle c }$ ${displaystyle {underline {a}} }$ ${displaystyle a }$ ${displaystyle 1 }$ ${displaystyle c }$ ${displaystyle b }$ ${displaystyle {underline {b}} }$ ${displaystyle b }$ ${displaystyle c }$ ${displaystyle a }$ ${displaystyle 1 }$ ${displaystyle {underline {c}} }$ ${displaystyle c }$ ${displaystyle b }$ ${displaystyle 1 }$ ${displaystyle a }$

Однако если мы расширим группу ${displaystyle G }$ к группе ${displaystyle H }$ с таблицей умножения:

Тогда условия имеют два решения, а именно ${displaystyle x=b }$ и ${displaystyle x=c }$.

Таким образом, есть три возможности относительно таких условий:

• Они могут не соответствовать ${displaystyle G }$ и не имеют решения ни в каком расширении ${displaystyle G }$.
• У них может быть решение в ${displaystyle G }$.
• У них может не быть решения в ${displaystyle G }$ но все же есть решение в каком-то расширении ${displaystyle H }$ из ${displaystyle G }$.

Резонно спросить, есть ли группы ${displaystyle A }$ так что всякий раз, когда набор таких условий имеет решение, у них есть решение в ${displaystyle A }$ сам? Оказывается, «да», и мы называем такие группы алгебраически замкнутыми группами.

Формальное определение

Сначала нам нужны предварительные идеи.

Если ${displaystyle G }$ это группа и ${displaystyle F }$ это свободная группа на счетно много генераторов, затем конечная система уравнений и неравенств с коэффициентами в ${displaystyle G }$ мы имеем в виду пару подмножеств ${displaystyle E }$ и ${displaystyle I }$ из ${displaystyle Fstar G}$ то бесплатный продукт из ${displaystyle F }$ и ${displaystyle G }$.

Это формализует понятие системы уравнений и неравенств, состоящих из переменных ${displaystyle x_{i} }$ и элементы ${displaystyle g_{j} }$ из ${displaystyle G }$. Набор ${displaystyle E }$ представляет такие уравнения, как:

${displaystyle x_{1}^{2}g_{1}^{4}x_{3}=1}$

${displaystyle x_{3}^{2}g_{2}x_{4}g_{1}=1}$

${displaystyle dots }$

Набор ${displaystyle I }$ представляет собой неравенства вида

${displaystyle g_{5}^{-1}x_{3}eq 1}$

${displaystyle dots }$

Автор решение в ${displaystyle G }$ к этой конечной системе уравнений и неравенств мы имеем в виду гомоморфизм ${displaystyle f:Fightarrow G}$, так что ${displaystyle { ilde {f}}(e)=1 }$ для всех ${displaystyle ein E}$ и ${displaystyle { ilde {f}}(i)eq 1 }$ для всех ${displaystyle iin I}$, куда ${displaystyle { ilde {f}}}$ единственный гомоморфизм ${displaystyle { ilde {f}}:Fstar Gightarrow G}$ это равно ${displaystyle f }$ на ${displaystyle F }$ и это личность на ${displaystyle G }$.

Это формализует идею замены элементов ${displaystyle G }$ чтобы переменные обрели истинную идентичность и идентичность. В примере подстановки ${displaystyle x_{1}mapsto g_{6},x_{3}mapsto g_{7}}$ и ${displaystyle x_{4}mapsto g_{8}}$ урожай:

${displaystyle g_{6}^{2}g_{1}^{4}g_{7}=1}$

${displaystyle g_{7}^{2}g_{2}g_{8}g_{1}=1}$

${displaystyle dots }$

${displaystyle g_{5}^{-1}g_{7}eq 1}$

${displaystyle dots }$

Мы говорим, что конечный набор уравнений и неравенств в соответствии с ${displaystyle G }$ если мы сможем решить их в «большей» группе ${displaystyle H }$. Более формально:

Уравнения и неравенства согласуются с ${displaystyle G }$ если есть группа${displaystyle H }$ и вложение ${displaystyle h:Gightarrow H}$ такая, что конечная система уравнений и неравенств ${displaystyle { ilde {h}}(E)}$ и ${displaystyle { ilde {h}}(I)}$ имеет решение в ${displaystyle H }$, куда ${displaystyle { ilde {h}}}$ единственный гомоморфизм ${displaystyle { ilde {h}}:Fstar Gightarrow Fstar H}$ это равно ${displaystyle h }$ на ${displaystyle G }$ и это личность на ${displaystyle F }$.

Теперь формально определим группу ${displaystyle A }$ быть алгебраически замкнутый если каждая конечная система уравнений и неравенств, имеющая коэффициенты в ${displaystyle A }$ и соответствует ${displaystyle A }$ имеет решение в ${displaystyle A }$.

Известные результаты

Трудно привести конкретные примеры алгебраически замкнутых групп, о чем свидетельствуют следующие результаты:

• Каждый счетный группа может быть вложена в счетную алгебраически замкнутую группу.
• Каждая алгебраически замкнутая группа является просто.
• Никакая алгебраически замкнутая группа не является конечно порожденный.
• Алгебраически замкнутая группа не может быть рекурсивно представленный.
• Конечно порожденная группа имеет решаемая проблема со словом тогда и только тогда, когда он может быть вложен в любую алгебраически замкнутую группу.

Доказательства этих результатов в целом очень сложны. Однако набросок доказательства того, что счетная группа ${displaystyle C }$ вкладывается в алгебраически замкнутую группу следующим образом.

Сначала вставляем ${displaystyle C }$ в счетной группе ${displaystyle C_{1} }$ с тем свойством, что каждая конечная система уравнений с коэффициентами в ${displaystyle C }$ это согласуется с ${displaystyle C_{1} }$ имеет решение в ${displaystyle C_{1} }$ следующее:

Конечных наборов уравнений и неравенств с коэффициентами в ${displaystyle C }$. Исправить перечисление ${displaystyle S_{0},S_{1},S_{2},dots }$ их. Определить группы ${displaystyle D_{0},D_{1},D_{2},dots }$ индуктивно:

${displaystyle D_{0}=C }$

${displaystyle D_{i+1}=left{{egin{matrix}D_{i} &{mbox{if}} S_{i} {mbox{is not consistent with}} D_{i}langle D_{i},h_{1},h_{2},dots ,h_{n}angle &{mbox{if}} S_{i} {mbox{has a solution in}} Hsupseteq D_{i} {mbox{with}} x_{j}mapsto h_{j} 1leq jleq nend{matrix}}ight.}$

Теперь позвольте:

${displaystyle C_{1}=cup _{i=0}^{infty }D_{i}}$

Теперь повторите эту конструкцию, чтобы получить последовательность групп ${displaystyle C=C_{0},C_{1},C_{2},dots }$ и разреши:

${displaystyle A=cup _{i=0}^{infty }C_{i}}$

потом ${displaystyle A }$ счетная группа, содержащая ${displaystyle C }$. Он алгебраически замкнут, потому что любой конечный набор уравнений и неравенств, который согласуется с ${displaystyle A }$ должен иметь коэффициенты в некоторых ${displaystyle C_{i} }$ и поэтому должно быть решение в ${displaystyle C_{i+1} }$.

Смотрите также

• Алгебраическое замыкание
  • Алгебраически замкнутое поле

Рекомендации

• А. Макинтайр: Об алгебраически замкнутых группах, ann. математики, 96, 53-97 (1972)
• B.H. Нейман: Замечание об алгебраически замкнутых группах. J. London Math. Soc. 27, 227-242 (1952)
• B.H. Нейман: Проблема изоморфизма для алгебраически замкнутых групп. В: Проблемы со словами, стр. 553 . Амстердам: Северная Голландия 1973
• W.R. Scott: Алгебраически замкнутые группы. Proc. Амер. Математика. Soc. 2, 118-121 (1951)