Мера Александрова – Кларка - Aleksandrov–Clark measure

В математика, Меры Александрова – Кларка (AC) специально построены меры назван в честь двух математики, Александров А.Б. и Дуглас Кларк, открывшие некоторые из их самых глубоких свойств. Меры также называются мерами Александрова, мерами Кларка или иногда спектральными мерами.

Измерения переменного тока используются для извлечения информации о самокартах единичный диск, и имеют приложения в ряде областей комплексный анализ, особенно те, которые связаны с теория операторов. Системы измерения переменного тока также были построены для более высоких измерений, а также для полуплоскость.

Строительство мер

Оригинальная конструкция Кларка относится к одномерным возмущениям операторов сжатого сдвига на подпространствах Харди космос:

${\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} ,\mathbb {C} ).}$

В силу Теорема Берлинга, любое инвариантное относительно сдвига подпространство этого пространства имеет вид

${\displaystyle \theta H^{2}(\mathbb {D} ,\mathbb {C} ),}$

куда ${\displaystyle \theta }$ является внутренняя функция. Таким образом, любое инвариантное подпространство сопряженного сдвига имеет вид

${\displaystyle K_{\theta }=\left(\theta H^{2}(\mathbb {D} ,\mathbb {C} )\right)^{\perp }.}$

Теперь определим ${\displaystyle S_{\theta }}$ быть оператором сдвига, сжатым до ${\displaystyle K_{\theta }}$, то есть

${\displaystyle S_{\theta }=P_{K_{\theta }}S|_{K_{\theta }}.}$

Кларк заметил, что все одномерные возмущения ${\displaystyle S_{\theta }}$, которые также были унитарными, имели вид

${\displaystyle U_{\alpha }(f)=S_{\theta }(f)+\alpha \left\langle f,{\frac {\theta }{z}}\right\rangle ,}$

и связал каждую такую ​​карту с мерой, ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ на единичном круге через Спектральная теорема. Этот набор мер, по одной на каждую ${\displaystyle \alpha }$ на единичном круге ${\displaystyle ^{\mathbb {T} }}$, тогда называется набором AC мер, связанных с ${\displaystyle \theta }$.

Альтернативная конструкция

Набор мер также может быть построен для любой аналитической функции (то есть не обязательно внутренней функции). Учитывая аналитическую карту себя, ${\displaystyle \phi }$, единичного диска, ${\displaystyle ^{\mathbb {D} }}$, мы можем построить набор функций, ${\displaystyle u_{\alpha }}$, данный

${\displaystyle u_{\alpha }(z)=\Re \left({\frac {\alpha +\varphi (z)}{\alpha -\varphi (z)}}\right),}$

по одному на каждого ${\displaystyle ^{\alpha \in \mathbb {T} }}$. Каждая из этих функций является положительной и гармонической, поэтому по теореме Герглотца каждая является интегралом Пуассона некоторой положительной меры ${\displaystyle \mu _{\alpha }}$ на ${\displaystyle ^{\mathbb {T} }}$. Этот набор представляет собой набор мер AC, связанных с ${\displaystyle \varphi }$. Можно показать, что эти два определения для внутренних функций совпадают.

Рекомендации

• Дуглас Кларк, Одномерные возмущения ограниченных сдвигов, J. Analyze Math., 1972, том 25, стр 169–191.
• Э. Саксман, Элементарное введение в меры Кларка, в разделах по комплексному анализу и теории операторов, Univ. Малага, Малага, 2007, стр. 85–136.