Теория Альфорса - Ahlfors theory

Теория Альфорса математическая теория, изобретенная Ларс Альфорс как геометрический аналог Теория Неванлинны. Альфорс был награжден одним из двух самых первых Поля медали для этой теории в 1936 г.

Его можно рассматривать как обобщение основных свойств покрывающие карты к картам, которые в некотором вполне определенном смысле являются «почти покрытиями». Это относится к окаймленным Римановы поверхности оснащены конформными Римановы метрики.

Предварительные мероприятия

А риманова поверхность с краями Икс можно определить как область на компактная риманова поверхность граница ∂Икс состоит из конечного числа непересекающихся жордановых кривых. В большинстве приложений эти кривые являются кусочно-аналитическими, но есть явное условие минимальной регулярности для этих кривых, которое необходимо для работы теории; это называется Закономерность Альфорса. А конформный Риманова метрика определяется элементом длины ds который выражается в конформных локальных координатах z в качестве ds = ρ(z) |дз|, где ρ - гладкая положительная функция с изолированными нулями. Если нули отсутствуют, то метрика называется гладкой. Элемент length определяет длины спрямляемых кривых и площадей областей по формулам

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{\gamma }\rho (z)\,|dz|,\quad A(D)=\int _{D}\rho ^{2}(x+iy)\,dx\,dy,\quad z=x+iy.}$

Тогда расстояние между двумя точками определяется как нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки.

Настройка и обозначения

Позволять Икс и Y - две римановы поверхности с краями, и предположим, что Y снабжена гладкой (включая границу) конформной метрикой σ(z) дз. Позволять ж голоморфное отображение из Икс к Y. Тогда существует отступление метрика на Икс, который определяется

${\displaystyle \rho (z)|dz|=\sigma (f(z))|f^{\prime }(z)||dz|.\,}$

Когда Икс оснащен этой метрикой, ж становится локальная изометрия; то есть длина кривой равна длине ее изображения. Все длины и площади на Икс и Y измеряются относительно этих двух показателей.

Если ж отправляет границу Икс к границе Y, тогда ж это разветвленное покрытие. Особенно,

а) Каждая точка имеет одинаковое (конечное) количество прообразов с учетом кратности. Это число степень покрытия.

б) Формула Римана – Гурвица имеет, в частности, Эйлерова характеристика из Икс не более чем эйлерова характеристика Y раз больше степени.

Теперь предположим, что некоторая часть границы Икс сопоставлен с интерьером Y. Эта часть называется относительная граница. Позволять L - длина этой относительной границы.

Первая основная теорема

Среднее число покрытия определяется по формуле

${\displaystyle S={\frac {A(X)}{A(Y)}}.}$

Это число является обобщением степени покрытия. Аналогично, для любой регулярной кривой γ и для каждого регулярного региона D в Yопределены средние числа покрытия:

${\displaystyle S(D)={\frac {A(f^{-1}(D))}{A(D)}},\quad S(\gamma )={\frac {\ell (f^{-1}(\gamma ))}{\ell (\gamma )}}.}$

Первая основная теорема утверждает, что для каждой регулярной области и каждой регулярной кривой

${\displaystyle |S-S(D)|\leq kL,\quad |S-S(\gamma )|\leq kL,}$

куда L - длина относительной границы, а k константа, которая может зависеть только отY, σ, D и γ, но не зависит от ж и Икс.Когда L = 0 эти неравенства становятся слабым аналогом свойства а) накрытий.

Вторая основная теорема

Позволять ρ быть отрицательный эйлеровой характеристики (так что ρ = 2м - 2 для сферы с м отверстия). потом

${\displaystyle \max\{\rho (X),0\}\geq S\rho (Y)-kL,\,}$

Это имеет смысл только тогда, когда ρ(Y)> 0, например, когда Y представляет собой шар с тремя (или более) отверстиями. В этом случае результат можно рассматривать как обобщение свойства b) покрытий.

Приложения

Предположим теперь, что Z - открытая риманова поверхность, например комплексная плоскость или единичный круг, и пусть Z иметь конформную метрику ds. Мы говорим, что (Z,ds) является регулярно исчерпаемый если есть увеличивающаяся последовательность окаймленных поверхностей D_j содержалась в Z с их закрытием, объединение которых в Z, и такой, что

${\displaystyle {\frac {\ell (\partial (D_{j}))}{A(D_{j})}}\to 0,\;j\to \infty .}$

Альфорс доказал, что комплексная плоскость с произвольный конформная метрика регулярно исчерпаема. Этот факт вместе с двумя основными теоремами влечет теорему Пикара и Вторую основную теорему Теория Неванлинны. Многие другие важные обобщения теоремы Пикара могут быть получены из теории Альфорса.

Один особенно поразительный результат (ранее предположенный Андре Блох ) это Теорема пяти островов.

Теорема о пяти островах

Позволять D₁,...,D₅ - пять жордановых областей на сфере Римана с непересекающимися замыканиями. Тогда существует постоянная c, зависящие только от этих регионов и обладающие следующим свойством:

Позволять ж - мероморфная функция в единичном круге такая, что сферическая производная удовлетворяет

${\displaystyle {\frac {|f'(0)|}{1+|f(0)|^{2}}}\geq c.}$

Тогда есть односвязная область грамм содержится с его закрытием в единичном диске, так что ж карты грамм на один из регионов D_j гомеоморфно.

Это не относится к четырем регионам. Взять, например, ж(z) = ℘(Kz), куда K > 0 произвольно велико, а ℘ это Вейерштрасс эллиптическая функция удовлетворяющее дифференциальному уравнению

${\displaystyle (\wp ^{\prime })^{2}=4(\wp -e_{1})(\wp -e_{2})(\wp -e_{3}).}$

Все прообразы четырех точек е₁,е₂,е₃, ∞ кратны, поэтому, если мы возьмем четыре диска с непересекающимися замыканиями вокруг этих точек, не будет области, которая отображается на любой из этих дисков гомеоморфно.

Замечания

Помимо оригинальной журнальной статьи Альфорса,^[1]теория объясняется в книгах.^[2][3][4]Упрощенные доказательства второй основной теоремы можно найти в статьях Токи.^[5]и де Телин.^[6]

Простое доказательство теоремы о пяти островах, не опирающееся на теорию Альфорса, было разработано Бергвайлером.^[7]

Рекомендации

1. Альфорс, Л. (1935). "Zur Theorie der Uberlagerungsflachen". Acta Mathematica. 65: 157–194 (немецкий).
2. Хейман, В. (1964). Мероморфные функции. Oxford University Press.
3. Неванлинна, Р. (1970). Аналитические функции. Springer Verlag.
4. Цудзи, М. (1959). Теория потенциала в современной теории функций. Токио: Марузен.
5. Токи, Юкинари (1957). «Доказательство основной теоремы Альфорса о покрытии». Rev. Math. Pures Appl. 2: 277–280.
6. де Телин, Генри (2005). «Демонстрация теории восстановления поверхностей Альфор». Анна. Фак. Sci. Тулузская математика. 51: 203–209. (Французский).
7. Бергвайлер, В. (1998). «Новое доказательство теоремы Альфорса о пяти островах». J. Anal. Математика. 76: 337–347.