Неравенство Агмонса - Agmons inequality

В математический анализ, Неравенства Агмона, названный в честь Шмуэль Агмон,^[1] состоят из двух тесно связанных интерполяционные неравенства между Пространство Лебега ${\displaystyle L^{\infty }}$ и Соболевские пространства ${\displaystyle H^{s}}$. Это полезно при изучении уравнения в частных производных.

Позволять ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$ куда ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{3}}$^{[нечеткий ]}. Тогда неравенства Агмона в 3D утверждают, что существует постоянная ${\displaystyle C}$ такой, что

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2},}$

и

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}.}$

В 2D сохраняется первое неравенство, но не второе: пусть ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$ куда ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$. Тогда неравенство Агмона в 2D утверждает, что существует постоянная ${\displaystyle C}$ такой, что

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}.}$

Для ${\displaystyle n}$-мерный корпус, выбираем ${\displaystyle s_{1}}$ и ${\displaystyle s_{2}}$ такой, что ${\displaystyle s_{1}<{\tfrac {n}{2}}<s_{2}}$. Тогда, если ${\displaystyle 0<\theta <1}$ и ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2}}$, для любого ${\displaystyle u\in H^{s_{2}}(\Omega )}$

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{s_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{H^{s_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }}$

Смотрите также

• Ладыженская неравенство
• Неравенство Брезиса – Галлуэ

Примечания

1. Лемма 13.2, в: Агмон, Шмуэль, Лекции по эллиптическим краевым задачам, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 2010. ISBN  978-0-8218-4910-1.

Рекомендации

• Агмон, Шмуэль (2010). Лекции по эллиптическим краевым задачам. , Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing. ISBN  978-0-8218-4910-1.
• Фояс, Киприан; Manley, O .; Rosa, R .; Темам, Р. (2001). Уравнения Навье-Стокса и турбулентность.. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36032-3.