Ускорение (дифференциальная геометрия) - Acceleration (differential geometry)

В математика и физика, ускорение скорость изменения скорости кривой по отношению к заданной линейное соединение. Эта операция позволяет нам измерить скорость и направление «изгиба».^[1][2]

Формальное определение

Рассмотрим дифференцируемое многообразие ${\displaystyle M}$ с данным подключением ${\displaystyle \Gamma }$. Позволять ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M}$ быть кривой в ${\displaystyle M}$ с касательный вектор, т.е. скорость, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(\tau )}$, с параметром ${\displaystyle \tau }$.

Вектор ускорения ${\displaystyle \gamma }$ определяется ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}}$, куда ${\displaystyle \nabla }$ обозначает ковариантная производная связано с ${\displaystyle \Gamma }$.

Это ковариантная производная по ${\displaystyle \gamma }$, и его часто обозначают как

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}={\frac {\nabla {\dot {\gamma }}}{d\tau }}.}$

Относительно произвольной системы координат ${\displaystyle (x^{\mu })}$, и с ${\displaystyle (\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu })}$ компоненты связи (т. е. ковариантная производная ${\displaystyle \nabla _{\mu }:=\nabla _{\partial /x^{\mu }}}$) относительно этой системы координат, определяемой

${\displaystyle \nabla _{\partial /x^{\mu }}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}},}$

для векторного поля ускорения ${\displaystyle a^{\mu }:=(\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }})^{\mu }}$ получается:

${\displaystyle a^{\mu }=v^{\rho }\nabla _{\rho }v^{\mu }={\frac {dv^{\mu }}{d\tau }}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }v^{\nu }v^{\lambda }={\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\lambda }}{d\tau }},}$

куда ${\displaystyle x^{\mu }(\tau ):=\gamma ^{\mu }(\tau )}$ это локальное выражение для пути ${\displaystyle \gamma }$, и ${\displaystyle v^{\rho }:=({\dot {\gamma }})^{\rho }}$.

Концепция ускорения представляет собой ковариантную производную концепцию. Другими словами, для определения ускорения требуется дополнительная структура на ${\displaystyle M}$ должно быть дано.

С помощью обозначение абстрактного индекса, ускорение данной кривой с единицей измерения касательный вектор ${\displaystyle \xi ^{a}}$ дан кем-то ${\displaystyle \xi ^{b}\nabla _{b}\xi ^{a}}$.^[3]

Смотрите также

• Ускорение
• Ковариантная производная

Примечания

1. Фридман, М. (1983). Основы теорий пространства-времени. Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 38. ISBN  0-691-07239-6.
2. Benn, I.M .; Такер, Р.В. (1987). Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике. Бристоль и Нью-Йорк: Адам Хильгер. п. 203. ISBN  0-85274-169-3.
3. Маламент, Дэвид Б. (2012). Разделы основ общей теории относительности и теории ньютоновской гравитации. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-50245-8.

Рекомендации

• Фридман, М. (1983). Основы теорий пространства-времени. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-07239-6.
• Dillen, F. J. E .; Verstraelen, L.C.A. (2000). Справочник по дифференциальной геометрии. Том 1. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-444-82240-2.
• Пфистер, Герберт; Король, Маркус (2015). Инерция и гравитация. Фундаментальная природа и структура пространства-времени. Конспект лекций по физике. Том 897. Гейдельберг: Springer. Дои:10.1007/978-3-319-15036-9. ISBN  978-3-319-15035-2.