Теорема ATS - ATS theorem

В математике Теорема ATS это теорема о априближениетригонометрический sммм на более короткий. Применение теоремы ATS в некоторых задачах математической и теоретической физики может быть очень полезным.

История проблемы

В некоторых областях математика и математическая физика, суммы вида

${\displaystyle S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}\qquad (1)}$

находятся в стадии изучения.

Здесь ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ являются вещественными функциями вещественного аргумента, а ${\displaystyle i^{2}=-1.}$Такие суммы появляются, например, в теория чисел в анализеДзета-функция Римана, при решении задач, связанных с целым числом точек в областях на плоскости и в пространстве, при исследованииРяд Фурье, а при решении таких дифференциальных уравнений, как волновое уравнение, потенциальное уравнение, теплопроводность уравнение.

Проблема приближения ряда (1) подходящей функцией исследовалась еще Эйлер и Пуассон.

Мы определимдлина суммы ${\displaystyle S}$быть числом ${\displaystyle b-a}$ (для целых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b,}$ это количество слагаемых в ${\displaystyle S}$).

При определенных условиях на ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$сумма ${\displaystyle S}$ можно с хорошей точностью заменить на другую сумму ${\displaystyle S_{1},}$

${\displaystyle S_{1}=\sum _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k)e^{2\pi iF(k)},\ \ \ (2)}$

где длина ${\displaystyle \beta -\alpha }$ намного меньше, чем ${\displaystyle b-a.}$

Первые отношения формы

${\displaystyle S=S_{1}+R,\qquad (3)}$

куда ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S_{1}}$ - суммы (1) и (2) соответственно, ${\displaystyle R}$ остаточный член с конкретными функциями ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x),}$были получены Г. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд,^[1][2][3]когда они вывели приближенное функциональное уравнение для дзета-функции Римана${\displaystyle \zeta (s)}$ и по Виноградов И. М.,^[4] при изучении количества целых точек в областях на плоскости. В общем виде теорема была доказана J. Van der Corput,^[5][6] (о недавних результатах, связанных с теоремой Ван дер Корпута, можно прочитать на^[7]).

В каждой из упомянутых выше работ есть некоторые ограничения на функции${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ были наложены. С удобными (для приложений) ограничениями на${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x),}$ теорема была доказана А. А. Карацуба в ^[8] (смотрите также,^[9][10]).

Некоторые обозначения

[1]. За ${\displaystyle B>0,B\to +\infty ,}$или же ${\displaystyle B\to 0,}$ запись

${\displaystyle 1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1}$

означает, что есть константы ${\displaystyle C_{1}>0}$

и ${\displaystyle C_{2}>0,}$

такой, что

${\displaystyle C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.}$

[2]. Для реального числа ${\displaystyle \alpha ,}$ запись ${\displaystyle \|\alpha \|}$ Значит это

${\displaystyle \|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),}$

куда

${\displaystyle \{\alpha \}}$

это дробная часть ${\displaystyle \alpha .}$

Теорема ATS

Пусть действительные функции ƒ(Икс) и ${\displaystyle \varphi (x)}$ удовлетворить в сегменте [а, б] следующие условия:

1) ${\displaystyle f''''(x)}$ и ${\displaystyle \varphi ''(x)}$ непрерывны;

2) есть числа${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ такой, что

${\displaystyle H>0,\qquad 1\ll U\ll V,\qquad 0<b-a\leq V}$

и

${\displaystyle {\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x)\ll H,\\\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\\\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\\\end{array}}}$

Тогда, если мы определим числа ${\displaystyle x_{\mu }}$ из уравнения

${\displaystyle f'(x_{\mu })=\mu ,}$

у нас есть

${\displaystyle \sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,}$

куда

${\displaystyle R=O\left({\frac {HU}{b-a}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);}$

${\displaystyle T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}f'(j){\text{ is an integer}};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{if }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\end{cases}}}$

${\displaystyle j=a,b;}$

${\displaystyle C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{if }}f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}\mu =f'(a){\text{ or }}\mu =f'(b);\\\end{cases}}}$

${\displaystyle Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .}$

Наиболее простым вариантом сформулированной теоремы является утверждение, которое в литературе называется Лемма Ван дер Корпута.

Лемма Ван дер Корпута

Позволять ${\displaystyle f(x)}$ - действительная дифференцируемая функция на интервале ${\displaystyle a<x\leq b,}$ причем внутри этого интервала его производная ${\displaystyle f'(x)}$ является монотонной и сохраняющей знак функцией, а для постоянной ${\displaystyle \delta }$ такой, что ${\displaystyle 0<\delta <1}$ удовлетворяет неравенству ${\displaystyle |f'(x)|\leq \delta .}$ потом

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),}$

куда ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

Замечание

Если параметры ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ являются целыми числами, то последнее соотношение можно заменить следующими:

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}\,dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},}$

куда ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

О приложениях АТС к проблемам физики см. ,;^[11][12] смотрите также,.^[13][14]

Примечания

1. Харди, Г. Х .; Литтлвуд, Дж. Э. (1914). «Некоторые проблемы диофантова приближения. Часть II. Тригонометрические ряды, связанные с эллиптическими ϑ-функциями». Acta Mathematica. Международная пресса Бостона. 37: 193–239. Дои:10.1007 / bf02401834. ISSN  0001-5962.
2. Харди, Г. Х .; Литтлвуд, Дж. Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел». Acta Mathematica. Международная пресса Бостона. 41: 119–196. Дои:10.1007 / bf02422942. ISSN  0001-5962.
3. Харди, Г. Х .; Литтлвуд, Дж. Э. (1921). «Нули дзета-функции Римана на критической прямой». Mathematische Zeitschrift. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 10 (3–4): 283–317. Дои:10.1007 / bf01211614. ISSN  0025-5874. S2CID  126338046.
4. Виноградов И. М. О среднем значении числа классов чисто корневой формы отрицательного определителя Коммуник. Хар. Математика. Soc., 16, 10–38 (1917).
5. ван дер Корпут, Дж. Г. (1921). "Zahlentheoretische Abschätzungen". Mathematische Annalen (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 84 (1–2): 53–79. Дои:10.1007 / bf01458693. ISSN  0025-5831. S2CID  179178113.
6. ван дер Корпут, Дж. Г. (1922). "Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem". Mathematische Annalen (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 87 (1–2): 39–65. Дои:10.1007 / bf01458035. ISSN  0025-5831. S2CID  177789678.
7. Монтгомери, Хью (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа. Провиденс, Р.И.: Опубликовано Американским математическим обществом для Совета по математическим наукам. ISBN  978-0-8218-0737-8. OCLC  30811108.
8. Карацуба, А.А. (1987). «Аппроксимация экспоненциальных сумм более короткими». Труды Индийской академии наук, раздел A. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 97 (1–3): 167–178. Дои:10.1007 / bf02837821. ISSN  0370-0089. S2CID  120389154.
9. Карацуба А.А., Воронин С.М. Дзета-функция Римана. (W. de Gruyter, Verlag: Berlin, 1992).
10. Карацуба А.А., Королев М.А. Теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой. Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат. 71:32007. С. 63—84.
11. Карацуба, Екатерина А. (2004). «Аппроксимация сумм осциллирующих слагаемых в некоторых физических задачах». Журнал математической физики. Издательство AIP. 45 (11): 4310–4321. Дои:10.1063/1.1797552. ISSN  0022-2488.
12. Карацуба, Екатерина А. (20.07.2007). «О подходе к изучению суммы Джейнса – Каммингса в квантовой оптике». Численные алгоритмы. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 45 (1–4): 127–137. Дои:10.1007 / s11075-007-9070-х. ISSN  1017-1398. S2CID  13485016.
13. Шассанд-Моттен, Эрик; Пай, Арчана (27 февраля 2006 г.). "Лучшая цепочка чирплетов: почти оптимальное обнаружение щебетаний гравитационных волн". Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 73 (4): 042003. Дои:10.1103 / Physrevd.73.042003. HDL:11858 / 00-001M-0000-0013-4BBD-B. ISSN  1550-7998. S2CID  56344234.
14. Fleischhauer, M .; Шлейх, В. П. (1993-05-01). «Возрождение стало проще: формула суммирования Пуассона как ключ к возрождению в модели Джейнса-Каммингса». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 47 (5): 4258–4269. Дои:10.1103 / Physreva.47.4258. ISSN  1050-2947. PMID  9909432.