Γ-сходимость - Γ-convergence

в вариационное исчисление, Γ-сходимость (Гамма-сходимость) - понятие сходимости для функционалы. Он был представлен Эннио де Джорджи.

Определение

Позволять ${\displaystyle X}$ быть топологическое пространство и ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ обозначим множество всех окрестностей точки ${\displaystyle x\in X}$. Пусть дальше ${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ последовательность функционалов на ${\displaystyle X}$. В ${\displaystyle \Gamma {\text{-lower limit}}}$ и ${\displaystyle \Gamma {\text{-upper limit}}}$ определяются следующим образом:

${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\liminf _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y),}$

${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\limsup _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y)}$.

${\displaystyle F_{n}}$ говорят ${\displaystyle \Gamma }$-сходиться к ${\displaystyle F}$, если существует функционал ${\displaystyle F}$ такой, что ${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}=\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}=F}$.

Определение в первых счетных пространствах

В пробелы с первым счетом, приведенное выше определение можно охарактеризовать в терминах последовательных ${\displaystyle \Gamma }$-сходимость следующим образом. ${\displaystyle X}$ быть место с первым счетом и ${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ последовательность функционалов на ${\displaystyle X}$. потом ${\displaystyle F_{n}}$ говорят ${\displaystyle \Gamma }$-сходиться к ${\displaystyle \Gamma }$-предел ${\displaystyle F:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ если выполнены следующие два условия:

• Неравенство нижней границы: для каждой последовательности ${\displaystyle x_{n}\in X}$ такой, что ${\displaystyle x_{n}\to x}$ в качестве ${\displaystyle n\to +\infty }$,

${\displaystyle F(x)\leq \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n}).}$

• Неравенство верхней границы: для каждого ${\displaystyle x\in X}$, есть последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ сходится к ${\displaystyle x}$ такой, что

${\displaystyle F(x)\geq \limsup _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})}$

Первое условие означает, что ${\displaystyle F}$ дает общую асимптотическую нижнюю оценку для ${\displaystyle F_{n}}$. Второе условие означает, что эта нижняя оценка оптимальна.

Связь с конвергенцией Куратовского

${\displaystyle \Gamma }$-конвергенция связана с понятием Куратовский-конвергенция наборов. Позволять ${\displaystyle {\text{epi}}(F)}$ обозначить эпиграф функции ${\displaystyle F}$ и разреши ${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ последовательность функционалов на ${\displaystyle X}$. потом

${\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\limsup _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}$

${\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\liminf _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}$

куда ${\displaystyle {\text{K-}}\liminf }$ обозначает низшие сорта лайма по Куратовски и ${\displaystyle {\text{K-}}\limsup }$ Лаймы Куратовского превосходят по топологии продукции ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$. Особенно, ${\displaystyle (F_{n})_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$-сходится к ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle X}$ если и только если ${\displaystyle ({\text{epi}}(F_{n}))_{n}}$ ${\displaystyle {\text{K}}}$-сходится к ${\displaystyle {\text{epi}}(F)}$ в ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$. Это причина, по которой ${\displaystyle \Gamma }$-конвергенция иногда называется эпи-конвергенция.

Характеристики

• Минимайзеры сходятся к минимизаторам: если ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$-сходиться к ${\displaystyle F}$, и ${\displaystyle x_{n}}$ минимизатор для ${\displaystyle F_{n}}$, то каждая кластерная точка последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ минимизатор ${\displaystyle F}$.
• ${\displaystyle \Gamma }$-пределы всегда полунепрерывный снизу.
• ${\displaystyle \Gamma }$-сходимость устойчива относительно непрерывных возмущений: если ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$-сходится к ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G:X\to [0,+\infty )}$ непрерывно, то ${\displaystyle F_{n}+G}$ буду ${\displaystyle \Gamma }$-сходиться к ${\displaystyle F+G}$.
• Постоянная последовательность функционалов ${\displaystyle F_{n}=F}$ не обязательно ${\displaystyle \Gamma }$-сходиться к ${\displaystyle F}$, но к расслабление из ${\displaystyle F}$, наибольший полунепрерывный снизу функционал ниже ${\displaystyle F}$.

Приложения

Важное применение для ${\displaystyle \Gamma }$-конвергенция в теория гомогенизации. Его также можно использовать для строгого обоснования перехода от дискретных теорий к континуальным для материалов, например, в эластичность теория.

Смотрите также

• Конвергенция Моско
• Конвергенция Куратовского
• Эпи-конвергенция

Рекомендации

• А. Косы: Γ-сходимость для начинающих. Издательство Оксфордского университета, 2002.
• Г. Даль Мазо: Введение в Γ-сходимость. Биркхойзер, Базель 1993.