Эпи-конвергенция - Epi-convergence

В математический анализ, эпи-конвергенция это тип сходимости для ценный и расширенный реальный функции.

Эпи-сходимость важна, потому что это подходящее понятие сходимости для аппроксимации задач минимизации в области математическая оптимизация. Симметричное понятие гипоконвергенция подходит для задач максимизации. Моско конвергенция является обобщением эпи-сходимости на бесконечномерные пространства.

Определение

Позволять ${\displaystyle X}$ быть метрическое пространство, и ${\displaystyle f^{\nu }:X\to \mathbb {R} }$ действительная функция для каждого натуральное число ${\displaystyle \nu }$. Мы говорим, что последовательность ${\displaystyle (f^{\nu })}$ эпи-сходится к функции ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ если для каждого ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\liminf _{\nu \to \infty }f^{\nu }(x^{\nu })\geq f(x){\text{ for every }}x^{\nu }\to x{\text{ and }}\\&\limsup _{\nu \to \infty }f^{\nu }(x^{\nu })\leq f(x){\text{ for some }}x^{\nu }\to x.\end{aligned}}}$

Расширенное расширение с действительной стоимостью

Следующее расширение позволяет применять эпи-сходимость к последовательности функций с непостоянной областью.

Обозначим через ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ то расширенные действительные числа. Позволять ${\displaystyle f^{\nu }}$ быть функцией ${\displaystyle f^{\nu }:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ для каждого ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }$. Последовательность ${\displaystyle (f^{\nu })}$ эпи-сходится к ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ если для каждого ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\liminf _{\nu \to \infty }f^{\nu }(x^{\nu })\geq f(x){\text{ for every }}x^{\nu }\to x{\text{ and }}\\&\limsup _{\nu \to \infty }f^{\nu }(x^{\nu })\leq f(x){\text{ for some }}x^{\nu }\to x.\end{aligned}}}$

Фактически эпи-сходимость совпадает с ${\displaystyle \Gamma }$-конвергенция в первых счетных пространствах.

Гипоконвергенция

Эпи-сходимость - это подходящая топология для аппроксимации задач минимизации. Для задач максимизации используется симметричное понятие гипоконвергенция. ${\displaystyle (f^{\nu })}$ гипо-сходится к ${\displaystyle f}$ если

${\displaystyle \limsup _{\nu \to \infty }f^{\nu }(x^{\nu })\leq f(x){\text{ for every }}x^{\nu }\to x}$

и

${\displaystyle \liminf _{\nu \to \infty }f^{\nu }(x^{\nu })\geq f(x){\text{ for some }}x^{\nu }\to x.}$

Связь с проблемами минимизации

Предположим, у нас есть сложная задача минимизации

${\displaystyle \inf _{x\in C}g(x)}$

куда ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle C\subseteq X}$. Мы можем попытаться аппроксимировать эту проблему последовательностью более простых задач.

${\displaystyle \inf _{x\in C^{\nu }}g^{\nu }(x)}$

для функций ${\displaystyle g^{\nu }}$ и устанавливает ${\displaystyle C^{\nu }}$.

Эпи-сходимость дает ответ на вопрос: в каком смысле приближения должны сходиться к исходной задаче, чтобы гарантировать, что приближенные решения сходятся к решению оригинала?

Мы можем встроить эти задачи оптимизации в структуру эпи-сходимости, определив расширенные действительные функции

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}g(x),&x\in C,\\\infty ,&x\not \in C,\end{cases}}\\[4pt]f^{\nu }(x)&={\begin{cases}g^{\nu }(x),&x\in C^{\nu },\\\infty ,&x\not \in C^{\nu }.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Так что проблемы ${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)}$ и ${\displaystyle \inf _{x\in X}f^{\nu }(x)}$ эквивалентны исходной и приближенной задачам соответственно.

Если ${\displaystyle (f^{\nu })}$ эпи-сходится к ${\displaystyle f}$, тогда ${\displaystyle \limsup _{\nu \to \infty }[\inf f^{\nu }]\leq \inf f}$. Кроме того, если ${\displaystyle x}$ является предельной точкой минимизаторов ${\displaystyle f^{\nu }}$, тогда ${\displaystyle x}$ минимизатор ${\displaystyle f}$. В этом смысле,

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }\operatorname {argmin} f^{\nu }\subseteq \operatorname {argmin} f.}$

Эпи-сходимость - самое слабое понятие сходимости, для которого справедлив этот результат.

Характеристики

• ${\displaystyle (f^{\nu })}$ эпи-сходится к ${\displaystyle f}$ если и только если ${\displaystyle (-f^{\nu })}$ гипо-сходится к ${\displaystyle -f}$.
• ${\displaystyle (f^{\nu })}$ эпи-сходится к ${\displaystyle f}$ если и только если ${\displaystyle (\operatorname {epi} f^{\nu })}$ сходится к ${\displaystyle \operatorname {epi} f}$ как установлено, в Чувство Пенлеве-Куратовски сходимости множества. Здесь, ${\displaystyle \operatorname {epi} f}$ это эпиграф функции ${\displaystyle f}$.
• Если ${\displaystyle f^{\nu }}$ эпи-сходится к ${\displaystyle f}$, тогда ${\displaystyle f}$ полунепрерывно снизу.
• Если ${\displaystyle f^{\nu }}$ является выпуклый для каждого ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle (f^{\nu })}$ эпи-сходится к ${\displaystyle f}$, тогда ${\displaystyle f}$ выпуклый.
• Если ${\displaystyle f_{1}^{\nu }\leq f^{\nu }\leq f_{2}^{\nu }}$ и оба ${\displaystyle (f_{1}^{\nu })}$ и ${\displaystyle (f_{2}^{\nu })}$ эпи-сходятся к ${\displaystyle f}$, тогда ${\displaystyle (f^{\nu })}$ эпи-сходится к ${\displaystyle f}$.
• Если ${\displaystyle (f^{\nu })}$ сходится равномерно к ${\displaystyle f}$ на каждом компакте ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle (f^{\nu })}$ непрерывны, то ${\displaystyle (f^{\nu })}$ эпи-сходится и гипо-сходится к ${\displaystyle f}$.
• В общем, эпи-сходимость не подразумевает и не подразумевает поточечная сходимость. На поточечно сходящееся семейство функций можно сделать дополнительные предположения, чтобы гарантировать эпи-сходимость.

Рекомендации

• Р. Тиррелл Рокафеллар и Роджер Уетс, Вариационный анализ. Глава 7 ; Vol. 317. Springer Science & Business Media, 2009.
• Питер Калл, Приближение к задачам оптимизации: элементарный обзор; Математика исследования операций 19, стр. 9–18 (1986).
• Хеди Аттач и Роджер Уетс, Эпиграфический анализ; Анналы IHP Analyze non linéaire Vol. 6. 1989.