T символ Хофта - t Hooft symbol

't символ Хофта η является символом, который позволяет выразить образующие алгебры Ли SU (2) в терминах образующих алгебры Лоренца. Символ представляет собой смесь Дельта Кронекера и Символ Леви-Чивита. Он был представлен Жерар т Хофт. Он используется при строительстве BPST инстантон.

η^а_μν это 't символ Хофта:

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }^{a}={\begin{cases}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{cases}}.}$

Другими словами, они определяются

(${\displaystyle a=1,2,3;~\mu ,\nu =1,2,3,4;~\epsilon _{1234}=+1}$)

${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }=\epsilon _{a\mu \nu 4}+\delta _{a\mu }\delta _{\nu 4}-\delta _{a\nu }\delta _{\mu 4}}$

${\displaystyle {\bar {\eta }}_{a\mu \nu }=\epsilon _{a\mu \nu 4}-\delta _{a\mu }\delta _{\nu 4}+\delta _{a\nu }\delta _{\mu 4}}$

где последние - антиавтодуальные символы 'т Хофта.

Более точно, эти символы

${\displaystyle \eta _{1\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \eta _{2\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}},\quad \eta _{3\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{bmatrix}},}$

и

${\displaystyle {\bar {\eta }}_{1\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}},\quad {\bar {\eta }}_{2\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\bar {\eta }}_{3\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Они удовлетворяют свойствам самодуальности и анти-самодуальности:

${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\eta _{a\rho \sigma }\ ,\qquad {\bar {\eta }}_{a\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }{\bar {\eta }}_{a\rho \sigma }\ }$

Некоторые другие свойства

${\displaystyle \epsilon _{abc}\eta _{b\mu \nu }\eta _{c\rho \sigma }=\delta _{\mu \rho }\eta _{a\nu \sigma }+\delta _{\nu \sigma }\eta _{a\mu \rho }-\delta _{\mu \sigma }\eta _{a\nu \rho }-\delta _{\nu \rho }\eta _{a\mu \sigma }}$

${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }\eta _{a\rho \sigma }=\delta _{\mu \rho }\delta _{\nu \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }+\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\ ,}$

${\displaystyle \eta _{a\mu \rho }\eta _{b\mu \sigma }=\delta _{ab}\delta _{\rho \sigma }+\epsilon _{abc}\eta _{c\rho \sigma }\ ,}$

${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \theta }\eta _{a\sigma \theta }=\delta _{\sigma \mu }\eta _{a\nu \rho }+\delta _{\sigma \rho }\eta _{a\mu \nu }-\delta _{\sigma \nu }\eta _{a\mu \rho }\ ,}$

${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }\eta _{a\mu \nu }=12\ ,\quad \eta _{a\mu \nu }\eta _{b\mu \nu }=4\delta _{ab}\ ,\quad \eta _{a\mu \rho }\eta _{a\mu \sigma }=3\delta _{\rho \sigma }\ .}$

То же самое и для ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$ кроме

${\displaystyle {\bar {\eta }}_{a\mu \nu }{\bar {\eta }}_{a\rho \sigma }=\delta _{\mu \rho }\delta _{\nu \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }-\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\ .}$

и

${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \theta }{\bar {\eta }}_{a\sigma \theta }=-\delta _{\sigma \mu }{\bar {\eta }}_{a\nu \rho }-\delta _{\sigma \rho }{\bar {\eta }}_{a\mu \nu }+\delta _{\sigma \nu }{\bar {\eta }}_{a\mu \rho }\ ,}$

Очевидно ${\displaystyle \eta _{a\mu \nu }{\bar {\eta }}_{b\mu \nu }=0}$ за счет свойств различной двойственности.

Многие их свойства приведены в таблице в приложении к статье 'т Хоофта.^[1] а также в статье Белицкого и др.^[2]

Смотрите также

• Немедленное включение

Рекомендации

1. 'т Хоофт, Г. (1976). «Вычисление квантовых эффектов за счет четырехмерной псевдочастицы». Физический обзор D. 14 (12): 3432–3450. Bibcode:1976ПхРвД..14.3432Т. Дои:10.1103 / PhysRevD.14.3432.
2. Белицкий, А. В .; Vandoren, S .; Nieuwenhuizen, П. В. (2000). «Ян-Миллс и Д-инстантоны». Классическая и квантовая гравитация. 17 (17): 3521–3570. arXiv:hep-th / 0004186. Bibcode:2000CQGra..17.3521B. Дои:10.1088/0264-9381/17/17/305.