Неравенство Вигнера – Деспанья - Wigner–dEspagnat inequality
В Неравенство Вигнера – д'Эспанья это основной результат теория множеств Он назван в честь Юджин Вигнер и Бернар д'Эспанья кто (как указано Колокол ) оба использовали его в своих популяризациях квантовая механика.
Для множества S с тремя подмножествами J, K и L выполняется следующее:
- каждый член S, который является членом J, но не L
- либо член J, но ни K, ни L,
- или же является членом J и K, но не L;
- каждый член J, который не является ни членом K, ни L, поэтому является членом J, но не членом K; и
- каждый член J, который является членом K, но не L, поэтому является членом K, но не L.
Следовательно, количество членов J, которые не являются членами L, меньше или самое большее равное сумме количества членов J, которые не являются членами K, и количества членов K, которые не являются членами L;
п(включая J) (кроме L) ≤ п(включая J) (кроме K) + п(включая K) (кроме L).
Если соотношения N из этих номеров в число п(включая S) всех членов множества S можно оценить, например
N(включая J) (кроме L) = п(включая J) (кроме L) / п(включая S),
затем Неравенство Вигнера – д'Эспанья получается как:
N(включая J) (кроме L) ≤ N(включая J) (кроме K) + N(включая K) (искл. L).
Рассматривая эту конкретную форму, в которой тем самым выражается неравенство Вигнера – д'Эспанья, и отмечая, что различные неотрицательные отношения N удовлетворить
- N(включая J) (включая K) + N(включая J) (кроме K) + N(кроме J) (включая K) + N(кроме J) (кроме K) = 1,
- N(включая J) (включая L) + N(включая J) (кроме L) + N(кроме J) (включая L) + N(кроме J) (кроме L) = 1, и
- N(включая K) (включая L) + N(включая K) (кроме L) + N(кроме K) (включая L) + N(кроме K) (кроме L) = 1,
вероятно, стоит упомянуть, что легко встречаются определенные неотрицательные отношения, которые соответствующим образом обозначены аналогичными связанными индексами и которые делать удовлетворяют уравнениям, соответствующим 1., 2. и 3., но которые тем не менее не удовлетворяют неравенству Вигнера – д'Эспаньа. Например:
если три наблюдателя, A, B и C, обнаруживали каждый сигнал в одном из двух отдельных каналов (например, как (ударить) против. (скучать по), (нажмите B) против. (мисс Б), и (нажмите C) против. (пропустите C)соответственно) по нескольким (хотя бы попарно определенным) испытаниям, то неотрицательные отношения N могут быть оценены, соответствующим образом обозначены и удовлетворены
- N(нажмите A) (нажмите B) + N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (нажать B) + N(пропустить A) (пропустить B) = 1,
- N(нажмите A) (нажмите C) + N(нажмите A) (пропустите C) + N(пропустить A) (нажать C) + N(пропустить A) (пропустить C) = 1, и
- N(нажмите B) (нажмите C) + N(нажмите B) (пропустите C) + N(пропустить B) (нажать C) + N(пропустить B) (пропустить C) = 1.
Однако если попарно углы ориентации между этими тремя наблюдателями определены (следуя обратной квантово-механической интерпретации Закон малуса ) от измеренных соотношений как
- угол ориентации (A, B) = 1/2 arccos (N(нажмите A) (нажмите B) - N(нажмите A) (нажмите B) - N(пропустить A) (нажать B) + N(пропустить A) (пропустить B) ),
- угол ориентации (A, C) = 1/2 arccos (N(нажмите A) (нажмите C) - N(нажмите A) (пропустите C) - N(пропустить A) (нажать C) + N(пропустить A) (пропустить C) ),
- угол ориентации (B, C) = 1/2 arccos (N(нажмите B) (нажмите C) - N(нажмите B) (пропустите C) - N(пропустить B) (нажать C) + N(пропустить B) (пропустить C) ),
и если каналы A, B и C считаются правильно настраивать только если ограничения
угол ориентации (A, B) = угол ориентации (B, C) = угол ориентации (A, C) / 2 <π / 4
был признан удовлетворенным (как вполне может потребоваться, с любой точностью; где точность зависит от количества испытаний, из которых были получены значения угла ориентации), то обязательно (при достаточной точности)
(cos (угол ориентации (A, C))) ² =
- (N(нажмите A) (нажмите C) + N(пропустить A) (пропустить C)) = (2 (N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (пропустить B)) – 1)2 > 0.
С
1 ≥ (N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (пропустить B)),
следовательно
1 ≥ 2 (N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (пропустить B)) – 1,
(2 (N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (пропустить B)) - 1) ≥ (2 (N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (пропустить B)) – 1)2,
(2 (N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (пропустить B)) - 1) ≥ (N(нажмите A) (нажмите C) + N(пропустить A) (пропустить C)),
(1 - 2 (N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (нажать B))) ≥ (1 - (N(нажмите A) (пропустите C) + N(пропустить A) (нажать C))),
(N(нажмите A) (пропустите C) + N(пропустить A) (нажать C)) ≥ 2 (N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (нажать B)),
(N(нажмите A) (пропустите C) + N(пропустить A) (нажать C)) ≥
- (N(нажмите A) (нажмите B) + N(пропустить A) (нажать B)) + (N(нажмите B) (пропустите C) + N(пропустить B) (нажать C)),
что находится в (формальном) противоречии с неравенствами Вигнера – д'Эспанья
N(нажмите A) (пропустите C) ≤ N(нажмите A) (нажмите B) + N(нажмите B) (пропустите C), или же
N(пропустить A) (нажать C) ≤ N(пропустить A) (нажать B) + N(пропустите B) (нажмите C), или оба.
Соответственно, коэффициенты N полученные A, B и C, с конкретными ограничениями на их настраивать по значениям углов ориентации, не можешь были получены все сразу, в одном и том же наборе испытаний вместе; в противном случае они обязательно удовлетворяли бы неравенствам Вигнера – д'Эспаньа. Вместо этого они должны были быть получены в трех различных наборах испытаний, отдельно и попарно через A и B, через A и C, а также через B и C, соответственно.
Невозможность одновременного получения определенных измерений (таких как неотрицательные отношения в примере) вместе из одного и того же набора испытаний и, следовательно, их неспособность удовлетворить неравенства Вигнера-д'Эспаньа, была охарактеризована как представляя опровержение Эйнштейн понятие о местный реализм.
Подобные взаимозависимости между два конкретные измерения и соответствующие операторы являются отношения неопределенности как было впервые выражено Гейзенберг для взаимозависимости между измерениями расстояния и импульса, и как обобщено Эдвард Кондон, Говард Перси Робертсон, и Эрвин Шредингер.
Рекомендации
- Джон С. Белл, Носки Бертльмана и природа реальности, Journal de Physique 42, нет. 3, стр. 41 (1981); и ссылки в нем.