Тауберова теорема Винерса - Wieners tauberian theorem

В математический анализ, Тауберова теорема Винера есть ли какой-либо из нескольких связанных результатов, доказанных Норберт Винер в 1932 г.^[1] Они обеспечивают необходимое и достаточное условие, при котором любая функция в L¹ или же L² можно приблизительно оценить линейные комбинации из переводы данной функции.^[2]

Неформально, если преобразование Фурье функции ж исчезает на определенном множестве Z, преобразование Фурье любой линейной комбинации переносов ж также исчезает на Z. Следовательно, линейные комбинации переводов ж не может аппроксимировать функцию, преобразование Фурье которой не обращается в нуль на Z.

Теоремы Винера уточняют это, утверждая, что линейные комбинации переводов ж находятся плотный если и только если нулевой набор преобразования Фурье ж пусто (в случае L¹) или нулевой меры Лебега (в случае L²).

Гельфанд переформулировал теорему Винера в терминах коммутативные C * -алгебры, когда говорится, что спектр L¹ групповое кольцо L¹(р) группы р действительных чисел - двойственная группа р. Аналогичный результат верен, когда р заменяется любым локально компактная абелева группа.

Состояние в L¹

Позволять ж ∈ L¹(р) - интегрируемая функция. В охватывать переводов ж_а(Икс) = ж(Икс + а) плотно в L¹(р) тогда и только тогда, когда преобразование Фурье ж не имеет настоящих нулей.

Тауберова переформулировка

Следующее утверждение эквивалентно предыдущему результату,^{[нужна цитата ]} и объясняет, почему результат Винера Тауберова теорема:

Предположим, что преобразование Фурье ж ∈ L¹ не имеет действительных нулей, и предположим, что свертка ж * час стремится к нулю на бесконечности для некоторых час ∈ L^∞. Тогда свертка грамм * час стремится к нулю на бесконечности для любого грамм ∈ L¹.

В более общем смысле, если

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(f*h)(x)=A\int f(x)\,dx}$

для некоторых ж ∈ L¹ преобразование Фурье которого не имеет действительных нулей, то также

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(g*h)(x)=A\int g(x)\,dx}$

для любого грамм ∈ L¹.

Дискретная версия

Теорема Винера имеет аналог в л¹(Z): диапазон переводов ж ∈ л¹(Z) плотно тогда и только тогда, когда преобразование Фурье

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }\,}$

не имеет настоящих нулей. Следующие утверждения являются эквивалентной версией этого результата:

• Предположим, что преобразование Фурье ж ∈ л¹(Z) не имеет действительных нулей, а для некоторой ограниченной последовательности час свертка ж * час стремится к нулю на бесконечности. потом грамм * час также стремится к нулю на бесконечности для любого грамм ∈ л¹(Z).
• Позволять φ - функция на единичной окружности с абсолютно сходящимся рядом Фурье. потом 1/φ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье тогда и только тогда, когда φ не имеет нулей.

Гельфанд  (1941a, 1941b ) показал, что это равносильно следующему свойству Винеровская алгебра А(Т), который он доказал, используя теорию банаховых алгебр, тем самым дав новое доказательство результата Винера:

• Максимальные идеалы А(Т) все в форме

${\displaystyle M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\,\mid \,f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} .\,}$

Состояние в L²

Позволять ж ∈ L²(р) - функция, интегрируемая с квадратом. Объем переводов ж_а(Икс) = ж(Икс + а) плотно в L²(р) тогда и только тогда, когда действительные нули преобразования Фурье ж сформировать набор из нуля Мера Лебега.

Параллельное заявление в л²(Z) выглядит следующим образом: диапазон переводов последовательности ж ∈ л²(Z) плотно тогда и только тогда, когда нулевое множество преобразования Фурье

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }\,}$

имеет нулевую меру Лебега.

Примечания

1. Видеть Винер (1932).
2. видеть Рудин (1991).

Рекомендации

• Гельфанд, И. (1941а), "Нормьерте Ринге", Рек. Математика. (Мат. Сборник) Н.С., 9 (51): 3–24, МИСТЕР  0004726
• Гельфанд, И. (1941b), "Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale", Рек. Математика. (Мат. Сборник) Н.С., 9 (51): 51–66, МИСТЕР  0004727
• Рудин, В. (1991), Функциональный анализ, Международная серия по чистой и прикладной математике, Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc., ISBN  0-07-054236-8, МИСТЕР  1157815
• Винер, Н. (1932), «Тауберовы теоремы», Анналы математики, 33 (1): 1–100, JSTOR  1968102

внешняя ссылка

• Штерн, А. (2001) [1994], "Винеровская тауберова теорема", Энциклопедия математики, EMS Press