Формула интегрирования Вейля - Weyl integration formula

В математике Формула интегрирования Вейля, представлен Герман Вейль, является интеграция формула для компактного связного Группа Ли г в терминах максимального тора Т. Точно сказано^[1] существует вещественнозначная непрерывная функция ты на Т так что для каждого функция класса ж на г:

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{T}f(t)u(t)\,dt.}$

Более того, ${\displaystyle u}$ явно задается как: ${\displaystyle u=|\delta |^{2}/\#W}$ где ${\displaystyle W=N_{G}(T)/T}$ это Группа Вейля определяется по Т и

${\displaystyle \delta (t)=\prod _{\alpha >0}\left(e^{\alpha (t)/2}-e^{-\alpha (t)/2}\right),}$

продукт пробегает положительные корни г относительно Т. В более общем смысле, если ${\displaystyle f}$ только непрерывная функция, то

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{T}\left(\int _{G}f(gtg^{-1})\,dg\right)u(t)\,dt.}$

Формулу можно использовать для получения Формула характера Вейля. (Теория Модули Verma, с другой стороны, дает чисто алгебраический вывод формулы характера Вейля.)

Вывод

Рассмотрим карту

${\displaystyle q:G/T\times T\to G,\,(gT,t)\mapsto gtg^{-1}}$.

Группа Вейля W действует на Т по спряжению и по ${\displaystyle G/T}$ слева по: для ${\displaystyle nT\in W}$,

${\displaystyle nT(gT)=gn^{-1}T.}$

Позволять ${\displaystyle G/T\times _{W}T}$ быть факторпространством по этому W-действие. Тогда, поскольку W-действие на ${\displaystyle G/T}$ бесплатно, факторная карта

${\displaystyle p:G/T\times T\to G/T\times _{W}T}$

гладкое покрытие с волокном W когда это ограничено обычными точками. Сейчас же, ${\displaystyle q}$ является ${\displaystyle p}$ с последующим ${\displaystyle G/T\times _{W}T\to G}$ последний является гомеоморфизмом на регулярных точках и, следовательно, имеет степень один. Следовательно, степень ${\displaystyle q}$ является ${\displaystyle \#W}$ и, заменяя формулу переменной, получаем:

${\displaystyle \#W\int _{G}f\,dg=\int _{G/T\times T}q^{*}(f\,dg).}$

Вот, ${\displaystyle q^{*}(f\,dg)|_{(gT,t)}=f(t)q^{*}(dg)|_{(gT,t)}}$ поскольку ${\displaystyle f}$ это функция класса. Далее мы вычисляем ${\displaystyle q^{*}(dg)|_{(gT,t)}}$. Мы идентифицируем касательное пространство к ${\displaystyle G/T\times T}$ так как ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}\oplus {\mathfrak {t}}}$ где ${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {t}}}$ являются алгебрами Ли ${\displaystyle G,T}$. Для каждого ${\displaystyle v\in T}$,

${\displaystyle q(gv,t)=gvtv^{-1}g^{-1}}$

и, таким образом, на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}$, у нас есть:

${\displaystyle d(gT\mapsto q(gT,t))({\dot {v}})=gtg^{-1}(gt^{-1}{\dot {v}}tg^{-1}-g{\dot {v}}g^{-1})=(\operatorname {Ad} (g)\circ (\operatorname {Ad} (t^{-1})-I))({\dot {v}}).}$

Аналогично мы видим на ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$, ${\displaystyle d(t\mapsto q(gT,t))=\operatorname {Ad} (g)}$. Теперь мы можем просмотреть г как связная подгруппа ортогональной группы (поскольку она компактно связна) и, следовательно, ${\displaystyle \det(\operatorname {Ad} (g))=1}$. Следовательно,

${\displaystyle q^{*}(dg)=\det(\operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})-I_{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}})\,dg.}$

Чтобы вычислить определитель, напомним, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }={\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }\oplus \oplus _{\alpha }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ где ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }\mid \operatorname {Ad} (t)x=e^{\alpha (t)}x,t\in T\}}$ и каждый ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ имеет измерение один. Следовательно, учитывая собственные значения ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})}$, мы получаем:

${\displaystyle \det(\operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})-I_{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}})=\prod _{\alpha >0}(e^{-\alpha (t)}-1)(e^{\alpha (t)}-1)=\delta (t){\overline {\delta (t)}},}$

как каждый корень ${\displaystyle \alpha }$ имеет чисто мнимую ценность.

Формула характера Вейля

Основная статья: Формула характера Вейля

Формула характера Вейля является следствием интегральной формулы Вейля следующим образом. Прежде всего отметим, что ${\displaystyle W}$ можно отождествить с подгруппой ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }^{*})}$; в частности, он действует на множество корней, линейные функционалы на ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }}$. Позволять

${\displaystyle A_{\mu }=\sum _{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w(\mu )}}$

где ${\displaystyle l(w)}$ это длина из ш. Позволять ${\displaystyle \Lambda }$ быть весовая решетка из г относительно Т. Формула характера Вейля говорит, что: для каждого неприводимого символа ${\displaystyle \chi }$ из ${\displaystyle G}$, существует ${\displaystyle \mu \in \Lambda }$ такой, что

${\displaystyle \chi |T\cdot \delta =A_{\mu }}$.

Чтобы убедиться в этом, сначала отметим

1. ${\displaystyle \|\chi \|^{2}=\int _{G}|\chi |^{2}dg=1.}$
2. ${\displaystyle \chi |T\cdot \delta \in \mathbb {Z} [\Lambda ].}$

Свойство (1) в точности (является частью) отношения ортогональности на неприводимых персонажах.

использованная литература

1. Адамс, Теорема 6.1. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAdams (Помогите)

• Адамс, Дж. Ф. (1969), Лекции о группах Ли, University of Chicago Press
• Теодор Брёкер и Таммо Том Дик, Представления компактных групп Ли, Тексты для выпускников по математике 98, Springer-Verlag, Берлин, 1995.