Метод максимума модуля вейвлет-преобразования - Wavelet transform modulus maxima method

В максимумы модуля вейвлет-преобразования (WTMM) это метод обнаружения фрактальная размерность сигнала.

Более того, WTMM способен разделить временную и масштабную область сигнала на области фрактальной размерности, и этот метод иногда называют «математическим микроскопом» из-за его способности проверять многомасштабные размерные характеристики сигнализировать и, возможно, информировать об источниках этих характеристик.

Метод WTMM использует непрерывное вейвлет-преобразование скорее, чем Преобразования Фурье обнаруживать особенности необычность - то есть неоднородности, области в сигнале, которые не являются непрерывными при определенной производной.

В частности, этот метод полезен при анализе мультифрактал сигналы, то есть сигналы, имеющие несколько фрактальных размерностей.

Описание

Рассмотрим сигнал, который можно представить следующим уравнением:

${\displaystyle f(t)=a_{0}+a_{1}(t-t_{i})+a_{2}(t-t_{i})^{2}+\cdots +a_{h}(t-t_{i})^{h_{i}}\,}$

куда ${\displaystyle t}$ близко к ${\displaystyle t_{i}}$ и ${\displaystyle h_{i}}$ является нецелым числом, определяющим локальную особенность. (Сравните это с Серия Тейлор, где на практике для аппроксимации непрерывной функции используется только ограниченное количество членов младшего порядка.)

Как правило, непрерывное вейвлет-преобразование разлагает сигнал как функцию времени, а не предполагает, что сигнал является стационарным (например, преобразование Фурье). Можно использовать любой непрерывный вейвлет, хотя первая производная от Гауссово распределение и Мексиканская шляпа вейвлет (2-я производная от гауссова) являются общими. Выбор вейвлета может зависеть от характеристик исследуемого сигнала.

Ниже мы видим один из возможных вейвлет-базисов, заданный первой производной гауссиана:

${\displaystyle G'(t,a,b)={\frac {a}{(2\pi )^{-1/2}}}(t-b)e^{\left({\frac {-(t-b)^{2}}{2a^{2}}}\right)}\,}$

После выбора «материнского вейвлета» непрерывное вейвлет-преобразование выполняется как непрерывное, квадратично интегрируемая функция которые можно масштабировать и переводить. Позволять ${\displaystyle a>0}$ - постоянная масштабирования и ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ быть перемещением вейвлета по сигналу:

${\displaystyle X_{w}(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$

куда ${\displaystyle \psi (t)}$ является непрерывной функцией как во временной области, так и в частотной области, называемой материнским вейвлетом, и ${\displaystyle ^{\ast }}$ представляет собой операцию комплексно сопряженный.

Расчет ${\displaystyle X_{w}(a,b)}$ для последующих вейвлетов, которые являются производными от материнского вейвлета, могут быть идентифицированы особенности. Последовательные вейвлеты с производной удаляют вклад членов более низкого порядка в сигнале, обеспечивая максимальное ${\displaystyle h_{i}}$ быть обнаруженным. (Напомним, что при взятии производных члены более низкого порядка становятся 0.) Это «максимумы модуля».

Таким образом, этот метод идентифицирует спектр сингулярности путем свертки сигнала с вейвлетом в разных масштабах и временных сдвигах.

Затем WTMM способен производить^{[нечеткий ]} «скелет», разделяющий масштаб и временное пространство фрактальной размерностью.

История

WTMM был разработан на основе более обширной области непрерывных вейвлет-преобразований, возникшей в 1980-х годах, и ее современных методов фрактальной размерности.

По своей сути, это комбинация методов «подсчета ящиков» фрактальной размерности и непрерывных вейвлет-преобразований, в которых вместо ящиков используются вейвлеты различных масштабов.

WTMM был первоначально разработан Маллатом и Хвангом в 1992 году и использовался для обработки изображений. [1]

Бакри, Музи и Арнеодо были первыми пользователями этой методологии. [2][3] Впоследствии он использовался в областях, связанных с обработкой сигналов.

Рекомендации

• Ален Арнеодо и др. (2008), Scholarpedia, 3(3):4103. [4]
• Вейвлет-тур по обработке сигналовСтефан Малла; ISBN  012466606X; Academic Press, 1999 г. [5]
• Маллат, S .; Хван, W.L .;, "Обнаружение сингулярностей и обработка с помощью вейвлетов", IEEE Transactions по теории информации, том 38, номер 2, страницы 617–643, март 1992 г. Дои:10.1109/18.119727 [6]
• Арнеодо на вейвлетах [7]
• Muzy, J. F .; Bacry, E .; Арнеодо, А. (1991-12-16). «Вейвлеты и мультифрактальный формализм для сингулярных сигналов: приложение к данным о турбулентности». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 67 (25): 3515–3518. Bibcode:1991ПхРвЛ..67.3515М. Дои:10.1103 / Physrevlett.67.3515. ISSN  0031-9007. PMID  10044755.
• Muzy, J. F .; Bacry, E .; Арнеодо, А. (1993-02-01). «Мультифрактальный формализм для фрактальных сигналов: подход структурной функции в сравнении с методом максимума модуля вейвлет-преобразования» (PDF). Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 47 (2): 875–884. Bibcode:1993ФРвЭ..47..875М. Дои:10.1103 / Physreve.47.875. ISSN  1063-651X. PMID  9960082.