Проблема вахбаса - Wahbas problem

В Прикладная математика, Проблема вахбы, впервые поставленный Грейс Вахба в 1965 году пытается найти матрица вращения (специальная ортогональная матрица ) между двумя системами координат из набора (взвешенных) векторных наблюдений. Решения проблемы Вахбы часто используются в спутник определение отношения с использованием датчиков, таких как магнитометры и мультиантенна Приемники GPS. Функция стоимости, которую задача Вахбы пытается минимизировать, выглядит следующим образом:

{ Displaystyle J ( mathbf {R}) = { frac {1} {2}} sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {k} | mathbf {w} _ {k} - mathbf {R} mathbf {v} _ {k} | ^ {2}}

за

{ Displaystyle N geq 2}

куда ${ displaystyle mathbf {w} _ {k}}$ это k-е 3-х векторное измерение в системе отсчета, ${ displaystyle mathbf {v} _ {k}}$ соответствующий k-е 3-х векторное измерение в корпусе и ${ displaystyle mathbf {R}}$ представляет собой матрицу поворота 3 на 3 между кадрами координат.^[1] ${ displaystyle a_ {k}}$ - необязательный набор весов для каждого наблюдения.

В литературе появился ряд решений проблемы, в частности q-метод Давенпорта.^[2], QUEST и разложение по сингулярным числам -основанные методы. Это альтернативная формулировка Ортогональная проблема Прокруста (рассмотрите все векторы, умноженные на квадратные корни соответствующих весов, как столбцы двух матриц с N столбцы для получения альтернативной формулировки).

Маркли и Мортари обсуждают несколько методов решения проблемы Вахбы.

Решение методом разложения по сингулярным значениям

Одно решение можно найти, используя разложение по сингулярным числам.

1. Получите матрицу ${ displaystyle mathbf {B}}$ следующее:

${ displaystyle mathbf {B} = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} mathbf {w} _ {i} { mathbf {v} _ {i}} ^ {T}}$

2. Найдите разложение по сингулярным числам из ${ displaystyle mathbf {B}}$

${ Displaystyle mathbf {B} = mathbf {U} mathbf {S} mathbf {V} ^ {T}}$

3. Матрица вращения проста:

${ Displaystyle mathbf {R} = mathbf {U} mathbf {M} mathbf {V} ^ {T}}$

куда ${ displaystyle mathbf {M} = operatorname {diag} ({ begin {bmatrix} 1 & 1 & det ( mathbf {U}) det ( mathbf {V}) end {bmatrix}})}$

Примечания

^ Вращение ${ displaystyle mathbf {R}}$ в постановке задачи преобразует кадр тела в систему отсчета. Большинство публикаций определяют вращение в обратном направлении, то есть от привязки к раме тела, что составляет ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {T}}$ .
^ «Q-метод Давенпорта (Поиск ориентации, соответствующей набору точечных образцов)». Обмен стеками математики. Получено 2020-07-23.

Смотрите также

[1] Вращение ${ displaystyle mathbf {R}}$ в постановке задачи преобразует кадр тела в систему отсчета. Большинство публикаций определяют вращение в обратном направлении, то есть от привязки к раме тела, что составляет ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {T}}$ .

[2] «Q-метод Давенпорта (Поиск ориентации, соответствующей набору точечных образцов)». Обмен стеками математики. Получено 2020-07-23.

[1]

[2]

Проблема вахбаса - Wahbas problem

Содержание

Решение методом разложения по сингулярным значениям

Примечания

Рекомендации

Смотрите также