Анализ устойчивости фон Неймана - Von Neumann stability analysis

В числовой анализ, анализ устойчивости фон Неймана (также известный как анализ устойчивости Фурье) - это процедура, используемая для проверки стабильность из конечно-разностные схемы применительно к линейным уравнения в частных производных.^[1] Анализ основан на Разложение Фурье из числовая ошибка и был разработан в Лос-Аламосская национальная лаборатория после краткого описания в статье 1947 г. Британский исследователи Кривошип и Николсон.^[2]Этот метод является примером явное интегрирование по времени где функция, определяющая основное уравнение, оценивается в настоящее время. Позже метод получил более строгую трактовку в статье^[3] в соавторстве с Джон фон Нейман.

Численная стабильность

В устойчивость численных схем тесно связан с числовая ошибка. Схема конечных разностей является стабильной, если ошибки, допущенные на одном временном шаге вычисления, не приводят к увеличению ошибок при продолжении вычислений. А нейтрально устойчивая схема - это тот, в котором ошибки остаются постоянными по мере продолжения вычислений. Если ошибки уменьшаются и, в конечном итоге, затухают, численная схема считается стабильной. Если же, наоборот, ошибки растут со временем, то численную схему называют неустойчивой. Устойчивость численных схем можно исследовать, выполнив анализ устойчивости по фон Нейману. Для задач, зависящих от времени, стабильность гарантирует, что численный метод дает ограниченное решение, когда решение точного дифференциального уравнения ограничено. Стабильность, как правило, трудно исследовать, особенно когда рассматриваемое уравнение нелинейный.

В некоторых случаях стабильность фон Неймана необходима и достаточна для стабильности в смысле Лакса – Рихтмайера (как используется в Теорема эквивалентности Лакса ): Модели PDE и конечно-разностной схемы являются линейными; PDE является постоянным коэффициентом с периодические граничные условия и имеет только две независимые переменные; и в схеме используется не более двух временных уровней.^[4] Стабильность по фон Нейману необходима в гораздо более широком спектре случаев. Он часто используется вместо более подробного анализа стабильности, чтобы дать хорошее предположение об ограничениях (если таковые имеются) на размеры шага, используемых в схеме, из-за ее относительной простоты.

Иллюстрация метода

Метод фон Неймана основан на разложении ошибок на Ряд Фурье. Чтобы проиллюстрировать процедуру, рассмотрим одномерный уравнение теплопроводности

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

определенный на пространственном интервале ${\displaystyle L}$, который можно дискретизировать^[5] в качестве

${\displaystyle \quad (1)\qquad u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+r\left(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\right)}$

куда

${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}}$

и решение ${\displaystyle u_{j}^{n}}$ дискретного уравнения аппроксимирует аналитическое решение ${\displaystyle u(x,t)}$ PDE на сетке.

Определить ошибка округления ${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$ в качестве

${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}}$

куда ${\displaystyle u_{j}^{n}}$ - решение дискретизированного уравнения (1), которое было бы вычислено в отсутствие ошибки округления, и ${\displaystyle N_{j}^{n}}$ - численное решение, полученное в арифметика конечной точности. Поскольку точное решение ${\displaystyle u_{j}^{n}}$ должно точно удовлетворять дискретизированному уравнению, ошибка ${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$ также должно удовлетворять дискретизированному уравнению.^[6] Здесь мы предположили, что ${\displaystyle N_{j}^{n}}$ также удовлетворяет уравнению (это верно только для машинной точности).

${\displaystyle \quad (2)\qquad \epsilon _{j}^{n+1}=\epsilon _{j}^{n}+r\left(\epsilon _{j+1}^{n}-2\epsilon _{j}^{n}+\epsilon _{j-1}^{n}\right)}$

является рекуррентным соотношением для ошибки. Уравнения (1) и (2) показывают, что как ошибка, так и численное решение имеют одинаковый характер роста или убывания во времени. Для линейных дифференциальных уравнений с периодическим граничным условием пространственное изменение ошибки может быть разложено в конечный ряд Фурье относительно ${\displaystyle x}$, в интервале ${\displaystyle L}$, в качестве

${\displaystyle \quad (3)\qquad \epsilon (x,t)=\sum _{m=-M}^{M}E_{m}(t)e^{{i}k_{m}x}}$

где волновое число ${\displaystyle k_{m}={\frac {\pi m}{L}}}$ с ${\displaystyle m=-M,\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots ,M}$ и ${\displaystyle M=L/\Delta x}$. Зависимость ошибки от времени включена в предположении, что амплитуда ошибки ${\displaystyle E_{m}}$ это функция времени. Часто делается предположение, что ошибка экспоненциально растет или спадает со временем, но это не обязательно для анализа устойчивости.

Если граничное условие непериодическое, то можно использовать конечный интеграл Фурье по ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \quad (4)\qquad \epsilon (x,t)=\int _{k=-{\frac {\pi }{\Delta x}}}^{k={\frac {\pi }{\Delta x}}}E_{k}(t)e^{{i}kx}dk}$

Поскольку разностное уравнение для ошибки является линейным (поведение каждого члена ряда такое же, как и самого ряда), достаточно рассмотреть рост ошибки типичного члена:

${\displaystyle \quad (5a)\qquad \epsilon _{m}(x,t)=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}}$

если используется ряд Фурье или

${\displaystyle \quad (5b)\qquad \epsilon _{k}(x,t)=E_{k}(t)e^{ikx}}$

если используется интеграл Фурье.

Поскольку ряд Фурье можно рассматривать как частный случай интеграла Фурье, мы продолжим развитие, используя выражения для интеграла Фурье.

Характеристики устойчивости можно изучать, используя именно такую ​​форму ошибки, без потери общности. Чтобы узнать, как ошибка изменяется с шагом во времени, подставьте уравнение (5b) в уравнение (2), отметив, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{j}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j}^{n+1}&=E_{m}(t+\Delta t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j+1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x+\Delta x)}\\\epsilon _{j-1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x-\Delta x)},\end{aligned}}}$

уступить (после упрощения)

${\displaystyle \quad (6)\qquad {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}=1+r\left(e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}-2\right).}$

Представляем ${\displaystyle \theta =k_{m}\Delta x\in [-\pi ,\pi ]}$ и используя тождества

${\displaystyle \qquad \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {e^{i\theta /2}-e^{-i\theta /2}}{2i}}\qquad \rightarrow \qquad \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=-{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }-2}{4}}}$

уравнение (6) можно записать как

${\displaystyle \quad (7)\qquad {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}=1-4r\sin ^{2}(\theta /2)}$

Определите коэффициент усиления

${\displaystyle \quad (8)\qquad G\equiv {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}}$

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ошибка оставалась ограниченной, является то, что ${\displaystyle \vert G\vert \leq 1.}$ Таким образом, из уравнений (7) и (8) условие устойчивости определяется выражением

${\displaystyle \quad (9)\qquad \left\vert 1-4r\sin ^{2}(\theta /2)\right\vert \leq 1}$

Обратите внимание, что термин ${\displaystyle 4r\sin ^{2}(\theta x/2)}$ всегда положительный. Таким образом, чтобы удовлетворить уравнению (9):

${\displaystyle \quad (10)\qquad 4r\sin ^{2}(\theta /2)\leq 2}$

Чтобы вышеуказанное условие выполнялось для всех ${\displaystyle m}$ (и поэтому все ${\displaystyle \sin ^{2}(\theta x/2)}$). Наибольшее значение, которое может принимать синусоидальный член, равно 1, и для этого конкретного выбора, если выполняется условие верхнего порога, то так будет и для всех точек сетки, таким образом, мы имеем

${\displaystyle \quad (11)\qquad r={\frac {\alpha \Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}}$

Уравнение (11) дает требование устойчивости для Схема FTCS применительно к одномерному уравнению теплопроводности. Он говорит, что для данного ${\displaystyle \Delta x}$, допустимое значение ${\displaystyle \Delta t}$ должен быть достаточно малым, чтобы удовлетворять уравнению (10).

Подобный анализ показывает, что схема FTCS для линейной адвекции безусловно нестабильна.

Рекомендации

1. Анализ численных методов Э. Исааксона, Х. Б. Келлера
2. Crank, J .; Николсон, П. (1947), "Практический метод численной оценки решений уравнений с частными производными типа теплопроводности", Proc. Camb. Фил. Soc., 43: 50–67, Дои:10.1007 / BF02127704
3. Charney, J. G .; Fjørtoft, R .; фон Нейман, Дж. (1950), "Численное интегрирование уравнения баротропной завихренности", Скажи нам, 2: 237–254, Дои:10.3402 / tellusa.v2i4.8607
4. Смит, Г. Д. (1985), Численное решение дифференциальных уравнений с частными производными: конечно-разностные методы, 3-е изд., стр. 67–68
5. в этом случае, используя Схема дискретизации FTCS
6. Андерсон, Дж. Д., мл. (1994). Вычислительная гидродинамика: основы с приложениями. Макгроу Хилл.