Дисперсионная декомпозиция ошибок прогноза - Variance decomposition of forecast errors

В эконометрика и другие приложения многомерного анализ временных рядов, а разложение дисперсии или же разложение дисперсии ошибки прогноза (FEVD) используется, чтобы помочь в интерпретации векторная авторегрессия (VAR) после установки.^[1] В отклонение декомпозиция указывает количество информации, которую каждая переменная вносит в другие переменные в авторегрессии. Он определяет, какая часть дисперсии ошибки прогноза для каждой из переменных может быть объяснена экзогенными шоками для других переменных.

Расчет дисперсии ошибки прогноза

Для VAR (p) формы

{ displaystyle y_ {t} = nu + A_ {1} y_ {t-1} + dots + A_ {p} y_ {t-p} + u_ {t}}

.

Ее можно изменить на структуру VAR (1), записав ее в сопутствующей форме (см. общая матричная запись VAR (p) )

{ Displaystyle Y_ {t} = V + AY_ {t-1} + U_ {t}}

куда

{ displaystyle A = { begin {bmatrix} A_ {1} & A_ {2} & dots & A_ {p-1} & A_ {p} mathbf {I} _ {k} & 0 & dots & 0 & 0 0 & mathbf {I} _ {k} && 0 & 0 vdots && ddots & vdots & vdots 0 & 0 & dots & mathbf {I} _ {k} & 0 end {bmatrix}}}

,

{ displaystyle Y = { begin {bmatrix} y_ {1} vdots y_ {p} end {bmatrix}}}

,

{ displaystyle V = { begin {bmatrix} nu 0 vdots 0 end {bmatrix}}}

и

{ displaystyle U_ {t} = { begin {bmatrix} u_ {t} 0 vdots 0 end {bmatrix}}}

куда ${ displaystyle y_ {t}}$ , ${ displaystyle nu}$ и ${ displaystyle u}$ находятся ${ displaystyle k}$ размерные векторы-столбцы, ${ displaystyle A}$ является ${ displaystyle kp}$ к ${ displaystyle kp}$ размерная матрица и ${ displaystyle Y}$ , ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle U}$ находятся ${ displaystyle kp}$ размерные векторы-столбцы.

Среднеквадратичная ошибка h-шагового прогноза переменной ${ displaystyle j}$ является

{ displaystyle mathbf {MSE} [y_ {j, t} (h)] = sum _ {i = 0} ^ {h-1} sum _ {k = 1} ^ {K} (e_ {j } ' Theta _ {i} e_ {k}) ^ {2} = { bigg (} sum _ {i = 0} ^ {h-1} Theta _ {i} Theta _ {i}' { bigg)} _ {jj} = { bigg (} sum _ {i = 0} ^ {h-1} Phi _ {i} Sigma _ {u} Phi _ {i} '{ bigg)} _ {jj},}

и где

${ displaystyle e_ {j}}$ это j^th столбец ${ displaystyle I_ {K}}$ и нижний индекс ${ displaystyle jj}$ относится к этому элементу матрицы

${ Displaystyle Theta _ {я} = Phi _ {я} P,}$ куда ${ displaystyle P}$ - нижнетреугольная матрица, полученная Разложение Холецкого из ${ displaystyle Sigma _ {u}}$ такой, что ${ displaystyle Sigma _ {u} = PP '}$ , куда ${ displaystyle Sigma _ {u}}$ ковариационная матрица ошибок ${ displaystyle u_ {t}}$

${ displaystyle Phi _ {i} = JA_ {i} J ',}$ куда ${ displaystyle J = { begin {bmatrix} mathbf {I} _ {k} & 0 & dots & 0 end {bmatrix}},}$ так что ${ displaystyle J}$ это ${ displaystyle k}$ к ${ displaystyle kp}$ размерная матрица.

Величина дисперсии ошибки прогноза переменной ${ displaystyle j}$ объясняется экзогенными шоками до переменных ${ displaystyle k}$ дан кем-то ${ displaystyle omega _ {jk, h},}$

{ displaystyle omega _ {jk, h} = sum _ {i = 0} ^ {h-1} (e_ {j} ' Theta _ {i} e_ {k}) ^ {2} / MSE [ y_ {j, t} (h)].}

Смотрите также

Дисперсионный анализ

Примечания

^ Люткеполь, Х. (2007) Новое введение в анализ множественных временных рядов, Springer. п. 63.

[1] Люткеполь, Х. (2007) Новое введение в анализ множественных временных рядов, Springer. п. 63.

[1]