Теорема Ван Скутенса - Van Schootens theorem

${\displaystyle |PA|=|PB|+|PC|}$

Теорема Ван Шутена, названный в честь голландского математика Франс ван Скутен, описывает свойство равносторонние треугольники. Говорится:

Для равностороннего треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ с точкой ${\displaystyle P}$ на его описанный круг длина самого длинного из трех отрезков линии ${\displaystyle PA,PB,PC}$ соединение ${\displaystyle P}$ с вершинами треугольника равна сумме длин двух других.

Теорема является следствием Теорема Птолемея за конциклические четырехугольники. Позволять ${\displaystyle a}$ длина стороны равностороннего треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle PA}$ самый длинный отрезок линии. Вершины треугольника вместе с ${\displaystyle P}$ образуют конциклический четырехугольник и, следовательно, по теореме Птолемея:

${\displaystyle {\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}}$

Разделив последнее уравнение на ${\displaystyle a}$ доставляет теорему Ван Шутена.

Рекомендации

• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику. МАА, 2010 г., ISBN  9780883853481, стр.102–103
• Дуг Френч: Обучение и изучение геометрии. Bloomsbury Publishing, 2004 г., ISBN  9780826434173 , стр.62–64
• Раймонд Вильоне: Доказательство без слов: теорема ван Схотена. Математический журнал, Vol. 89, № 2 (апрель 2016 г.), с. 132
• Йожеф Шандор: О геометрии равносторонних треугольников. Forum Geometricorum, Том 5 (2005), стр. 107–117

внешняя ссылка

• Теорема Ван Шутена на cut-the-knot.org