Универсальное представление (C * -алгебра) - Universal representation (C*-algebra)

В теории C * -алгебры, то универсальное представительство C * -алгебры является точным представлением, которое является прямой суммой Представительства GNS соответствующие состояниям С * -алгебры. Различные свойства универсального представления используются для получения информации об идеалах и факторах C * -алгебры. Тесная связь между произвольным представлением C * -алгебры и ее универсальным представлением может быть использована для получения нескольких критериев определения того, является ли линейный функционал на алгебре очень слабо непрерывный. Метод использования свойств универсального представления в качестве инструмента для доказательства результатов о C * -алгебре и ее представлениях обычно называют универсальные техники представления в литературе.

Формальное определение и свойства

Определение. Позволять А C * -алгебра с пространство состояний S. Представление

${\displaystyle \Phi :=\sum _{\rho \in S}\oplus \;\pi _{\rho }}$

на гильбертовом пространстве ${\displaystyle H_{\Phi }}$ известен как универсальное представительство из А.

Поскольку универсальное представление верно, А * -изоморфна C * -подалгебре Φ (А) из B (H_Φ).

Состояния Φ (А)

При τ состояние А, пусть π_τ обозначим соответствующие Представительство GNS на гильбертовом пространстве ЧАС_τ. Используя обозначения, определенные Вот, τ есть ω_Икс ∘ π_τ для подходящего единичного вектора Икс(=Икс_τ) в ЧАС_τ. Таким образом, τ есть ω_у ∘ Φ, где у - единичный вектор ∑_ρ∈S ⊕у_ρ в ЧАС_Φ, определяется у_τ= х, у_ρ= 0 (ρ ≠ τ). Поскольку отображение τ → τ ∘ Φ⁻¹ занимает пространство состояний А на пространство состояний функции Φ (А), то каждое состояние Φ (А) это векторное состояние.

Ограниченные функционалы от Φ (А)

Пусть Φ (А)⁻ обозначим слабое операторное замыкание Φ (А) в B (H_Φ). Каждый линейный ограниченный функционал ρ на Φ (А) является слабо операторно непрерывным и продолжает однозначно сохраняющую норму до слабо операторно непрерывного линейного функционала ρ на алгебре фон Неймана Φ (А)⁻. Если р эрмитово или положительно, то же самое верно и для ρ. Отображение ρ → ρ является изометрическим изоморфизмом двойственного пространства Φ (А)^* на предвойство Φ (А)⁻. Поскольку множество линейных функционалов, определяющих слабые топологии, совпадают, топология слабого оператора на Φ (А)⁻ совпадает со сверхслабой топологией. Таким образом, слабо-операторная и сверхслабая топологии на Φ (А) оба совпадают со слабой топологией Φ (А), полученная из двойственного по норме как банахова пространства.

Идеалы Φ (А)

Если K является выпуклым подмножеством Φ (А) сверхслабое замыкание K (обозначается K⁻) совпадает с сильно-операторными, слабо-операторными замыканиями K в B (H_Φ). Норма закрытия K есть Φ (А) ∩ K⁻. Можно дать описание замкнутых по норме левых идеалов в Φ (А) из структурной теории идеалов алгебр фон Неймана, которая относительно намного проще. Если K - замкнутый по норме левый идеал в Φ (А) есть проекция E в Φ (А)⁻ такой, что

${\displaystyle K=\Phi (A)\cap \Phi (A)^{-}E,K^{-}=\Phi (A)^{-}E}$

Если K - замкнутый по норме двусторонний идеал в Φ (А), E лежит в центре Φ (А)⁻.

Представления А

Если π - представление А, есть проекция п в центре Φ (А)⁻ и * -изоморфизм α из алгебры фон Неймана Φ (А)⁻п на π (А)⁻ такое, что π (а) = α (Φ (а)п) для каждого а в А. Это удобно зафиксировать в коммутативная диаграмма ниже :

Здесь ψ - отображение, отправляющее а к AP, α₀ обозначает ограничение α на Φ (А)п, ι обозначает отображение включения.

Поскольку α сверхслабая бинепрерывность, то же самое верно и для α₀. Более того, ψ сверхслабо непрерывно и является * -изоморфизмом, если π - точное представление.

Сверхслабые непрерывные и сингулярные компоненты

Позволять А - C * -алгебра, действующая в гильбертовом пространстве ЧАС. Для ρ в А^* и S в Φ (А)⁻, позволять Sρ в А^* определяться Sρ (а) = ρ∘Φ⁻¹(Φ (а) S) для всех а в А. Если п является проекцией в приведенной выше коммутативной диаграмме, когда π:А → B (H) отображение включения, то ρ в А^* сверхслабая непрерывность тогда и только тогда, когда ρ = пр. Функционал ρ в А^* как говорят единственное число если пρ = 0, каждое ρ в А^* однозначно выражается в виде ρ = ρ_ты+ ρ_s, где ρ_ты сверхслабой непрерывностью и ρ_s единственное число. Кроме того, || ρ || = || ρ_ты|| + || ρ_s|| и если ρ положительно или эрмитово, то же самое верно и для ρ_ты, ρ_s.

Приложения

Принцип Кристенсена – Хаагерупа

Позволять ж и грамм - непрерывные действительные функции на C^4м и C⁴ⁿсоответственно σ₁, σ₂, ..., σ_м - сверхслабые непрерывные линейные функционалы на алгебре фон Неймана р действующий в гильбертовом пространстве ЧАС, а ρ₁, ρ₂, ..., ρ_п быть ограниченными линейными функционалами на р так что для каждого а в р,

${\displaystyle f(\sigma _{1}(a),\sigma _{1}(a^{*}),\sigma _{1}(aa^{*}),\sigma _{1}(a^{*}a),\cdots ,\sigma _{m}(a),\sigma _{m}(a^{*}),\sigma _{m}(aa^{*}),\sigma _{m}(a^{*}a))}$

${\displaystyle \leq g(\rho _{1}(a),\rho _{1}(a^{*}),\rho _{1}(aa^{*}),\rho _{1}(a^{*}a),\cdots ,\rho _{n}(a),\rho _{n}(a^{*}),\rho _{n}(aa^{*}),\rho _{n}(a^{*}a)).}$

Тогда указанное выше неравенство выполняется, если каждое ρ_j заменяется его сверхслабой непрерывной составляющей (ρ_j)_ты.

Рекомендации

• Кадисон, Ричард, Основы теории операторных алгебр. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191.
• Кадисон, Ричард, Основы теории операторных алгебр. II: Продвинутая теория, Американское математическое общество. ISBN  978-0821808207.
• Кадисон, Ричард В. (1993), «О неравенстве Хаагерупа – Пизье», Журнал теории операторов, 29 (1): 57–67, МИСТЕР  1277964.