Универсальная квадратичная форма - Universal quadratic form

В математике универсальная квадратичная форма это квадратичная форма через звенеть который представляет каждый элемент кольца.[1] Неособая форма над полем, которая нетривиально представляет нуль, универсальна.[2]

Примеры

  • Над действительными числами форма Икс2 в одной переменной не универсален, так как не может представлять отрицательные числа: форма с двумя переменными Икс2 − y2 над р универсален.
  • Теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что каждое положительное целое число является суммой четырех квадратов. Следовательно, форма Икс2 + y2 + z2 + т2 − ты2 над Z универсален.
  • Через конечное поле, любая неособая квадратичная форма размерности 2 или более универсальна.[3]

Формы над рациональными числами

В Теорема Хассе – Минковского означает, что форма универсальна над Q тогда и только тогда, когда он универсален Qп для всех п (где мы включаем п = ∞, позволяя Q∞ обозначать р).[4] Форма над р универсален тогда и только тогда, когда это не определенный; форма над Qп универсален, если имеет размерность не менее 4.[5] Можно сделать вывод, что все неопределенные формы размерности не менее 4 над Q универсальны.[4]

Смотрите также

  • В 15 и 290 теорем дать условия для квадратичной формы для представления всех положительных целых чисел.

Рекомендации

  1. ^ Лам (2005) стр.10
  2. ^ Раджваде (1993) стр.146
  3. ^ Лам (2005) стр.36
  4. ^ а б Серр (1973) стр.43
  5. ^ Серр (1973) стр.37
  • Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2. МИСТЕР  2104929. Zbl  1068.11023.
  • Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.
  • Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики. Тексты для выпускников по математике. 7. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90040-3. Zbl  0256.12001.