Универсальная параболическая постоянная - Universal parabolic constant

Универсальная параболическая постоянная - это длина красного, деленная на длину зеленого.

В универсальная параболическая постоянная это математическая константа.

Он определяется как отношение для любого парабола, из длина дуги параболического сегмента, образованного прямая кишка к фокусному параметру. Фокальный параметр в два раза больше фокусное расстояние. Отношение обозначаетсяп.^[1][2][3]На схеме большая прямая кишка изображена синим цветом, параболический сегмент, который она формирует, - красным, а фокальный параметр - зеленым. (The фокус параболы это точка F и директриса это линия L.)

Значение п является^[4]

${displaystyle P=ln(1+{sqrt {2}})+{sqrt {2}}=2.29558714939dots }$

(последовательность A103710 в OEIS ). В круг и парабола уникальны среди конических сечений тем, что имеют универсальную постоянную. Аналогичные соотношения для эллипсы и гиперболы зависят от их эксцентриситет. Это означает, что все круги похожий и все параболы подобны, а эллипсы и гиперболы - нет.

Вывод

Брать ${displaystyle y={frac {x^{2}}{4f}}}$ как уравнение параболы. Фокальный параметр ${displaystyle p=2f}$ и semilatus прямая кишка является ${displaystyle ell =2f}$.

${displaystyle {egin{aligned}P&:={frac {1}{p}}int _{-ell }^{ell }{sqrt {1+left({frac {dy}{dx}}ight)^{2}}},dx&={frac {1}{2f}}int _{-2f}^{2f}{sqrt {1+{frac {x^{2}}{4f^{2}}}}},dx&=int _{-1}^{1}{sqrt {1+t^{2}}},dtquad (x=2ft)&=operatorname {arcsinh} (1)+{sqrt {2}}&=ln(1+{sqrt {2}})+{sqrt {2}}.end{aligned}}}$

Характеристики

п это трансцендентное число.

Доказательство. Предположим, что п является алгебраический. потом ${displaystyle ! P-{sqrt {2}}=ln(1+{sqrt {2}})}$ также должен быть алгебраическим. Однако по Теорема Линдеманна – Вейерштрасса, ${displaystyle ! e^{ln(1+{sqrt {2}})}=1+{sqrt {2}}}$ было бы трансцендентным, но это не так. Следовательно п трансцендентно.

С п трансцендентно, это также иррациональный.

Приложения

Среднее расстояние от точки, случайно выбранной в единичном квадрате, до ее центра составляет^[5]

${displaystyle d_{ ext{avg}}={P over 6}.}$

Доказательство.

${displaystyle {egin{aligned}d_{ ext{avg}}&:=8int _{0}^{1 over 2}int _{0}^{x}{sqrt {x^{2}+y^{2}}},dy,dx&=8int _{0}^{1 over 2}{1 over 2}x^{2}(ln(1+{sqrt {2}})+{sqrt {2}}),dx&=4Pint _{0}^{1 over 2}x^{2},dx&={P over 6}.end{aligned}}}$

Ссылки и сноски

1. Сильвестр Риз и Джонатан Сондоу. «Универсальная параболическая постоянная». MathWorld., веб-ресурс Wolfram.
2. Риз, Сильвестр. "Видео-лекция Коллоквиума Pohle: Универсальная параболическая постоянная". Получено 2 февраля, 2005.
3. Сондоу, Джонатан (2012). «Парбелос, параболический аналог арбелоса». arXiv:1210.2279 [math.HO ]. Американский математический ежемесячный журнал, 120 (2013), 929-935.
4. Видеть Парабола # Длина дуги. Использовать ${displaystyle p=2f}$, длина прямой кишки semilatus, поэтому ${displaystyle h=f}$ и ${displaystyle q=f{sqrt {2}}}$. Рассчитать ${displaystyle 2s}$ с точки зрения ${displaystyle f}$, затем разделите на ${displaystyle 2f}$, который является фокусным параметром.
5. Вайсштейн, Эрик В. "Выбор площади". MathWorld., веб-ресурс Wolfram.