Метод Турана - Turáns method

В математике Метод Турана дает нижние оценки для экспоненциальные суммы и сложный суммы мощности. Метод был применен к проблемам в равнораспределение.

Метод применяется к суммам вида

${\displaystyle s_{\nu }=\sum _{n=1}^{N}b_{n}z_{n}^{\nu }\ }$

где б и z комплексные числа и ν пробегает диапазон целых чисел. В зависимости от размера комплексных чисел есть два основных результата.z.

Первая теорема Турана

Первый результат относится к суммам s_ν куда ${\displaystyle |z_{n}|\geq 1}$ для всехп. Для любого диапазона ν длины N, сказать ν = M + 1, ..., M + N, существует некоторое ν с |s_ν| по меньшей мере c(M, N)|s₀| куда

${\displaystyle c(M,N)=\left({\sum _{k=0}^{N-1}{\binom {M+k}{k}}2^{k}}\right)^{-1}\ .}$

Сумму здесь можно заменить на более слабую, но более простую ${\displaystyle \left({\frac {N}{2e(M+N)}}\right)^{N-1}}$.

Мы можем вывести Теорема Фабри о разрыве от этого результата.

Вторая теорема Турана

Второй результат относится к суммам s_ν куда ${\displaystyle |z_{n}|\leq 1}$ для всехп. Предположим, что z упорядочиваются по убыванию абсолютного значения и масштабируются так, чтобы |z₁| = 1. Тогда существует ν с

${\displaystyle |s_{\nu }|\geq 2\left({\frac {N}{8e(M+N)}}\right)^{N}\min _{1\leq j\leq N}\left\vert {\sum _{n=1}^{j}b_{n}}\right\vert \ .}$

Смотрите также

• Теорема Турана в теории графов

Рекомендации

• Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа. Серия региональных конференций по математике. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.