Цирельсоны связаны - Tsirelsons bound

А Цирельсон связанный это верхний предел квантово-механический корреляции между далекими событиями. Учитывая, что квантовая механика не местный (т.е. квантово-механические корреляции нарушают Неравенства Белла ), возникает естественный вопрос: «Насколько нелокальной может быть квантовая механика?» или, точнее, насколько может нарушаться неравенство Белла. Ответ - это как раз оценка Цирельсона для конкретного рассматриваемого неравенства Белла. В общем, этот предел ниже, чем то, что было бы возможно без передачи сигналов быстрее света, и большое количество исследований было посвящено вопросу, почему это так.

Границы Цирельсона названы в честь Борис С. Цирельсон (или Цирельсон, в другом транслитерация ), автор статьи^[1] в котором был получен первый.

Граница для неравенства ЧШ

Первая граница Цирельсона была получена как верхняя граница корреляций, измеренных в ЧШ неравенство. В нем говорится, что если у нас есть четыре (Эрмитский ) дихотомические наблюдаемые ${\displaystyle A_{0}}$, ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{0}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ (т.е. две наблюдаемые для Алиса и два для Боб ) с результатами ${\displaystyle +1,-1}$ такой, что ${\displaystyle [A_{i},B_{j}]=0}$ для всех ${\displaystyle i,j}$, тогда

${\displaystyle \langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}.}$

Для сравнения, в классическом (или локальном реалистическом случае) верхняя граница равна 2, тогда как при любом произвольном присвоении ${\displaystyle +1,-1}$ разрешено, это 4. Граница Цирельсона уже достигается, если Алиса и Боб проводят измерения на кубит, простейшая нетривиальная квантовая система.

Существует несколько доказательств этой границы, но, пожалуй, наиболее поучительное из них основано на тождестве Хальфина – Цирельсона – Ландау. Если мы определим наблюдаемую

${\displaystyle {\mathcal {B}}=A_{0}B_{0}+A_{0}B_{1}+A_{1}B_{0}-A_{1}B_{1},}$

и ${\displaystyle A_{i}^{2}=B_{j}^{2}=\mathbb {I} }$, т.е. если наблюдаемые связаны с проективными результатами измерения, то

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{2}=4\mathbb {I} -[A_{0},A_{1}][B_{0},B_{1}].}$

Если ${\displaystyle [A_{0},A_{1}]=0}$ или же ${\displaystyle [B_{0},B_{1}]=0}$, который можно рассматривать как классический случай, уже следует, что ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2}$. В квантовом случае достаточно заметить, что ${\displaystyle {\big \|}[A_{0},A_{1}]{\big \|}\leq 2\|A_{0}\|\|A_{1}\|\leq 2}$, и оценка Цирельсона ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}}$ следует.

Другие неравенства Белла

Цирельсон также показал, что для любого двудольного полностью корреляционного неравенства Белла с м входы для Алисы и п входных данных для Боба соотношение между оценкой Цирельсона и локальной границей не превышает${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(\lfloor r\rfloor ),}$куда${\displaystyle r=\min \left\{m,n,-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+2(m+n)}}\right\},}$и ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(d)}$ это Постоянная Гротендика порядка d.^[2] Обратите внимание, что поскольку ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(2)={\sqrt {2}}}$, из этой оценки следует приведенный выше результат о неравенстве CHSH.

Вообще говоря, получение оценки Цирельсона для данного неравенства Белла - сложная задача, которую необходимо решать в каждом конкретном случае. Это даже не известно разрешимости. Самый известный вычислительный метод определения верхнего предела - это сходящаяся иерархия полуопределенные программы, иерархия NPA, которая в целом не останавливает^[3][4]. Точные значения известны еще для нескольких неравенств Белла:

Для неравенств Браунштейна – Кейвса имеем

${\displaystyle \langle {\text{BC}}_{n}\rangle \leq n\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).}$

Для неравенств WWŻB оценка Цирельсона имеет вид

${\displaystyle \langle {\text{WWZB}}_{n}\rangle \leq 2^{(n-1)/2}.}$

Для ${\displaystyle I_{3322}}$ неравенства оценка Цирельсона точно не известна, но конкретные реализации дают нижнюю оценку 0.25087538, а иерархия NPA дает верхнюю границу 0.25087539. Предполагается, что только бесконечномерные квантовые состояния могут достичь границы Цирельсона^[5][6].

Вывод из физических принципов

Значительные исследования были посвящены поиску физического принципа, объясняющего, почему квантовые корреляции доходят только до границы Цирельсона и не более того. Было обнаружено три таких принципа: отсутствие преимуществ для нелокальных вычислений.^[7], информационная причинность^[8] и макроскопическая местность^[9]. Иными словами, если бы можно было достичь CHSH-корреляции, превышающей границу Цирельсона, все эти принципы были бы нарушены. Оценка Цирельсона также следует, если эксперимент Белла допускает строго положительную квантовую меру.^[10].

Проблема Цирельсона

Есть два разных способа определения границы Цирельсона для выражения Белла. Один требует, чтобы измерения выполнялись в структуре тензорного произведения, а другой требует только коммутации. Проблема Цирельсона состоит в том, эквивалентны ли эти два определения. Более формально, пусть

${\displaystyle B=\sum _{abxy}\mu _{abxy}p(ab|xy)}$

быть выражением Белла, где ${\displaystyle p(ab|xy)}$ вероятность получения результатов ${\displaystyle a,b}$ с настройками ${\displaystyle x,y}$. Тогда оценка Цирельсона тензорного произведения есть супремум значения, полученного в этом выражении Белла путем измерения ${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$ и ${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}_{B}\to {\mathcal {H}}_{B}}$ на квантовом состоянии ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$:

${\displaystyle T_{t}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}\otimes B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

Маршрут Цирельсона - это супремум значения, полученного в этом выражении Белла путем измерения ${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ и ${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ такой, что ${\displaystyle \forall a,b,x,y;[A_{x}^{a},B_{y}^{b}]=0}$ на квантовом состоянии ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$:

${\displaystyle T_{c}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

Поскольку алгебры тензорных произведений, в частности, коммутируют, ${\displaystyle T_{t}\leq T_{c}}$. В конечных размерностях коммутирующие алгебры всегда изоморфны (прямым суммам) алгебр тензорного произведения, поэтому только для бесконечных размерностей возможно, что ${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$. Проблема Цирельсона заключается в том, являются ли все выражения Белла ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$.

Этот вопрос впервые рассмотрел Борис Цирельсон в 1993 г., где он без доказательств утверждал, что ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$.^[11]. Когда в 2006 году Антонио Ачин попросил доказательства, он понял, что то, что он имел в виду, не работает.^[12], и выдал вопрос как открытую проблему^[13]. Вместе с Мигелем Наваскесом и Стефано Пиронио Антонио Ацин разработал иерархию полуопределенных программ, иерархию NPA, которая сходилась к коммутирующей границе Цирельсона. ${\displaystyle T_{c}}$ сверху^[4], и хотел узнать, сходится ли оно также к тензорному произведению оценки Цирельсона ${\displaystyle T_{t}}$, наиболее физически значимый.

Поскольку можно произвести сходящуюся последовательность приближений к ${\displaystyle T_{t}}$ снизу, рассматривая конечномерные состояния и наблюдаемые, если ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$, то эту процедуру можно объединить с иерархией NPA для создания алгоритма остановки для вычисления границы Цирельсона, что делает ее вычислимое число (обратите внимание, что по отдельности ни одна процедура не останавливается в целом). Наоборот, если ${\displaystyle T_{t}}$ не вычислимо, то ${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$. В январе 2020 года Джи, Натараджан, Видик, Райт и Юэн заявили, что доказали, что ${\displaystyle T_{t}}$ не вычислимо, таким образом решая проблему Цирельсона^[14].

Было показано, что проблема Цирельсона эквивалентна Проблема вложения Конна.^[15]

Смотрите также

• Квантовая нелокальность
• Теорема Белла
• Парадокс ЭПР
• ЧШ неравенство
• Квантовая псевдотелепатия

Рекомендации

1. Цирельсон, Б. С. (1980). «Квантовые обобщения неравенства Белла». Письма по математической физике. 4 (2): 93–100. Bibcode:1980LMaPh ... 4 ... 93C. Дои:10.1007 / bf00417500. ISSN  0377-9017.
2. Борис Цирельсон (1987). «Квантовые аналоги неравенств Белла. Случай двух пространственно разделенных областей» (PDF). Журнал советской математики. 36 (4): 557–570.
3. Наваскес, Мигель; Пиронио, Стефано; Ацин, Антонио (2007-01-04). «Ограничение набора квантовых корреляций». Письма с физическими проверками. 98 (1): 010401. arXiv:Quant-ph / 0607119. Bibcode:2007PhRvL..98a0401N. Дои:10.1103 / Physrevlett.98.010401. ISSN  0031-9007. PMID  17358458.
4. М. Наваскуэс; С. Пиронио; А. Ацин (2008). «Конвергентная иерархия полуопределенных программ, характеризующая множество квантовых корреляций». Новый журнал физики. 10 (7): 073013. arXiv:0803.4290. Bibcode:2008NJPh ... 10g3013N. Дои:10.1088/1367-2630/10/7/073013.
5. Коллинз, Дэниел; Гисин, Николас (01.06.2003). «Соответствующее неравенство двух кубитов Белла, не эквивалентное неравенству CHSH». Журнал физики A: математические и общие. 37 (5): 1775–1787. arXiv:Quant-ph / 0306129. Дои:10.1088/0305-4470/37/5/021.
6. К.Ф. Пал; Т. Вертези (2010). «Максимальное нарушение неравенства I3322 с использованием бесконечномерных квантовых систем». Физический обзор A. 82: 022116. arXiv:1006.3032. Дои:10.1103 / PhysRevA.82.022116.
7. Линден, Ной; Попеску, Санду; Коротко, Энтони Дж .; Зима, Андреас (2007-10-30). «Квантовая нелокальность и не только: пределы нелокальных вычислений». Письма с физическими проверками. 99 (18): 180502. arXiv:Quant-ph / 0610097. Bibcode:2007PhRvL..99r0502L. Дои:10.1103 / Physrevlett.99.180502. ISSN  0031-9007. PMID  17995388.
8. Павловский, Марцин; Патерек, Томаш; Кашликовский, Дагомир; Скарани, Валерио; Зима, Андреас; Луковский, Марек (2009). «Информационная причинность как физический принцип». Природа. 461 (7267): 1101–1104. arXiv:0905.2292. Bibcode:2009 Натур.461.1101П. Дои:10.1038 / природа08400. ISSN  0028-0836. PMID  19847260.
9. Наваскес, Мигель; Вундерлих, Харальд (11 ноября 2009 г.). «Взгляд за пределы квантовой модели». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 466 (2115): 881–890. Дои:10.1098 / rspa.2009.0453. ISSN  1364-5021.
10. Крейг, Дэвид; Даукер, Фэй; Хенсон, Джо; Майор, Сет; Rideout, Дэвид; Соркин, Рафаэль Д. (2007). «Аналог неравенства Белла в квантовой теории меры». Журнал физики A: математический и теоретический. 40 (3): 501–523. arXiv:Quant-ph / 0605008. Bibcode:2007JPhA ... 40..501C. Дои:10.1088/1751-8113/40/3/010. ISSN  1751-8113.
11. Цирельсон, Б. С. (1993). «Некоторые результаты и проблемы о квантовых неравенствах типа Белла» (PDF). Приложение к адронному журналу. 8: 329–345.
12. Цирельсон, Б. «Неравенства Белла и операторные алгебры». Получено 20 января 2020.
13. Цирельсон, Б. «Неравенства Белла и операторные алгебры» (PDF). Получено 20 января 2020.
14. Z. Ji; А. Натараджан; Т. Видик; Дж. Райт; Х. Юэнь (2020). «MIP * = RE». arXiv:2001.04383 [Quant-ph ].
15. М. Юнге; М. Наваскуэс; C. Palazuelos; Д. Перес-Гарсия; В. Б. Шольц; Р. Ф. Вернер (2011). «Проблема вложения Конна и проблема Цирельсона». Журнал математической физики. 52 (1): 012102. arXiv:1008.1142. Bibcode:2011JMP .... 52a2102J. Дои:10.1063/1.3514538.