Трансцендентное уравнение - Transcendental equation

Джон Гершель, Описание машины для решения путем проверки некоторых важных форм трансцендентных уравнений, 1832

А трансцендентное уравнение является уравнение содержащий трансцендентная функция решаемой переменной (ов). Такие уравнения часто не имеют закрытые решения. Примеры включают:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{-x}\\x&=\cos x\\2^{x}&=x^{2}\end{aligned}}}$

Решаемые трансцендентные уравнения

Уравнения, в которых переменная, которую необходимо решить, появляется только один раз в качестве аргумента трансцендентной функции, легко решаются с помощью обратных функций; аналогично, если уравнение можно факторизовать или преобразовать в такой случай:

Уравнение	Решения
${\displaystyle \ln x=3}$	${\displaystyle x=e^{3}}$
${\displaystyle \sin x=0}$	${\displaystyle x=\pi n}$ (за ${\displaystyle n}$ целое число)
${\displaystyle \cos x=\sin {2x}}$	эквивалентно ${\displaystyle \cos x=2\sin x\cos x}$ (с использованием формула двойного угла т.е. sin (2x) = 2cos (x) sin (x)), чьи решения являются решениями ${\displaystyle \cos x=0}$ и из ${\displaystyle 2\sin x=1}$, а именно ${\displaystyle x=\pi n+\pi /2}$ и ${\displaystyle x={2\pi m}+\pi /6}$ и ${\displaystyle x=\pi (2k+1)-\pi /6}$ (за ${\displaystyle m,n,k}$ целые числа)

Некоторые из них могут быть решены, потому что они представляют собой композиции алгебраических функций с трансцендентными функциями.

Уравнение	Решения
${\displaystyle 3(2^{x})-2=4^{x}}$	решать ${\displaystyle 3q-2=q^{2}}$, давая ${\displaystyle q=1}$ или же ${\displaystyle q=2}$, тогда ${\displaystyle 2^{x}=q}$, так ${\displaystyle x=0}$ или же ${\displaystyle x=1}$

Но большинство уравнений, в которых переменная появляется и как аргумент трансцендентной функции, и где-либо еще в уравнении, не разрешимы в замкнутой форме или имеют только тривиальные решения.

Уравнение	Решения
${\displaystyle e^{x}=x}$	Реальных решений нет, так как ${\displaystyle e^{x}>x}$ для всех ${\displaystyle x}$
${\displaystyle \sin x=x}$	${\displaystyle x=0}$ единственное реальное решение

Примерные решения

Приближенные численные решения трансцендентных уравнений можно найти с помощью числовой, аналитические аппроксимации или графические методы.

Численные методы решения произвольных уравнений называются алгоритмы поиска корней.

В некоторых случаях уравнение можно хорошо аппроксимировать, используя Серия Тейлор около нуля. Например, для ${\displaystyle k\approx 1}$, решения ${\displaystyle \sin x=kx}$ примерно таковы ${\displaystyle (1-k)x-x^{3}/6=0}$, а именно ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {6}}{\sqrt {1-k}}}$.

Для графического решения один метод состоит в том, чтобы установить каждую сторону трансцендентного уравнения с одной переменной равным зависимая переменная и построить два графики, используя их точки пересечения, чтобы найти решения.

В некоторых случаях, специальные функции можно использовать для записи решений трансцендентных уравнений в закрытая форма. Особенно, ${\displaystyle x=e^{-x}}$ есть решение с точки зрения W функция Ламберта.

Другие решения

Трудности, возникающие при решении трансцендентных систем уравнений высокого порядка, были преодолены Владимир Варюхин посредством «разделения» неизвестных, при котором определение неизвестных сводится к решению алгебраических уравнений^[1][2]

Рекомендации

1. В. А. Варюхин, С. А. Касьянюк, “Об одном методе решения нелинейных систем специального типа”, Ж. Вычисл. Мат. Мат. Физ., 6: 2 (1966), 347–352; U.S.S.R. Comput. Математика. Математика. Физ., 6: 2 (1966), 214–221
2. В.А. Варюхин. Фундаментальная теория многоканального анализа. Киев: В.А. ПВО С.В., 1993.