Тотент-сумматорная функция - Totient summatory function

В теория чисел, то тотальная сумматорная функция ${\displaystyle \Phi (n)}$ это сумматорная функция из Функция Эйлера определяется:

${\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} }$

Характеристики

С помощью Инверсия Мёбиуса к тотентифицирующей функции, получаем

${\displaystyle \Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}$

Φ (п) имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right),}$

куда ζ (2) это Дзета-функция Римана для значения 2.

Φ (п) - количество взаимно простых целочисленных пар {p, q}, 1 ≤ p ≤ q ≤ n.

Сумматор взаимной тотальной функции

Сумма реципрокной общей функции определяется как

${\displaystyle S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}}$

Эдмунд Ландау в 1900 г. показал, что эта функция имеет асимптотическое поведение

${\displaystyle S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right)}$

куда γ это Константа Эйлера – Маскерони,

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)}$

и

${\displaystyle B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\,\prod _{p}\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).}$

Постоянная А = 1.943596... иногда называют Постоянная Ландау. Сумма ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}}$ сходится и равно:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots }$

В этом случае произведение простых чисел в правой части является константой, известной как общая сумматорная константа^[1], а его значение:

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots }$

Смотрите также

• Арифметическая функция

Рекомендации

1. OEIS: A065483

• Вайсштейн, Эрик В. «Общая суммирующая функция». MathWorld.

внешняя ссылка

• Тотент-сумматорная функция
• Десятичное разложение общего постоянного произведения (1 + 1 / (p ^ 2 * (p-1))), p простое> = 2)