Топологически стратифицированное пространство - Topologically stratified space

В топология, раздел математики, топологически стратифицированное пространство это пространство Икс который был разложен на части, называемые слои; эти слои коллекторы и должны подходить друг к другу определенным образом. Топологически стратифицированные пространства представляют собой чисто топологическую среду для изучения особенностей, аналогичную более дифференциально-геометрической теории Уитни. Их представил Рене Том, которые показали, что каждый Стратифицированное пространство Уитни также было топологически стратифицированным пространством с такими же слоями. Другое доказательство было дано Джон Мэзер в 1970 году, вдохновленный доказательством Тома.

Основные примеры стратифицированных пространств включают многообразия с краем (верхнее измерение и граница коразмерности 1) и коллекторы с углами (верхнее измерение, граница коразмерности 1, углы коразмерности 2).

Определение

Определение индуктивно по размерности Икс. An п-размерный топологическая стратификация из Икс это фильтрация

${displaystyle emptyset =X_{-1}subset X_{0}subset X_{1}ldots subset X_{n}=X}$

из Икс замкнутыми подпространствами такими, что для каждого я и для каждой точки Икс из

${displaystyle X_{i}setminus X_{i-1}}$,

существует район

${displaystyle Usubset X}$

из Икс в Икс, компактный (п - я - 1) -мерное стратифицированное пространство L, и гомеоморфизм, сохраняющий фильтрацию

${displaystyle Ucong mathbb {R} ^{i} imes CL}$.

Здесь ${displaystyle CL}$ это открытый конус на L.

Если Икс топологически стратифицированное пространство, я-размерный слой из Икс это пространство

${displaystyle X_{i}setminus X_{i-1}}$.

Подключенные компоненты Икс_я Икс_я-1 также часто называют стратами.

Примеры

Одним из первоначальных мотивов создания стратифицированных пространств было разбиение особых пространств на гладкие куски. Например, учитывая особое разнообразие ${displaystyle X}$, существует естественно определенное подмногообразие, ${displaystyle Sing(X)}$, который является сингулярным локусом. Это может быть не гладкое многообразие, поэтому взяв повторяющийся локус сингулярности ${displaystyle Sing(Sing(X))}$со временем даст естественное расслоение. Простым алгеброогеометрическим примером является особая гиперповерхность

${displaystyle { ext{Spec}}(k[x,y,z]/(x^{4}+y^{4}+z^{4})){xleftarrow {(0,0,0)}}{ ext{Spec}}(mathbb {C} )}$

куда ${displaystyle { ext{Spec}}(-)}$ это простой спектр.

Смотрите также

• Теория сингулярности
• Условия Уитни
• Стратифолд
• Гомология пересечения

Рекомендации

• Гореский Марк; Макферсон, Роберт Стратифицированная теория Морса, Springer-Verlag, Берлин, 1988.
• Гореский Марк; Макферсон, Роберт Гомология пересечения II, Изобретать. Математика. 72 (1983), нет. 1, 77--129.
• Мазер, Дж. Замечания о топологической устойчивости, Гарвардский университет, 1970.
• Том, Р. Ensembles et morphismes stratifiés, Бюллетень Американского математического общества 75 (1969), стр.240-284.
• Вайнбергер, Шмуэль (1994). Топологическая классификация стратифицированных пространств. Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. ISBN  9780226885667.